Reconstrucción e interpolación de señales mediante B-splines cúbicos

Question

Soy nuevo en la reconstrucción e interpolación. Por lo que tengo entendido, la interpolación mediante B-splines cúbicos puede verse de dos maneras 1) a través de la construcción de un sistema lineal de ecuaciones cuya solución determina unívocamente la espina cúbica interpolante, y 2) en un marco de tipo filtro/convolución. Mi pregunta se refiere a este último.

Si se considera el problema como un filtro/convolución, la reconstrucción para un conjunto de datos muestreados uniformemente viene dada por algo así como

\begin{align} \sum_i s(i)*h(i) \beta_3 (x - i) \end{align}

Donde $s(i)$ es la señal muestreada, h(i) es un filtro de interpolación, y $\beta_3$ es una B-spline de tercer orden (o espina cúbica obtenida por 3 convoluciones de la función de caja). La razón por la que se necesita este filtro es para eliminar las "copias" de alta frecuencia de la señal en el dominio de la frecuencia por: S( $\omega)$ H( $\omega$ ). Mi pregunta es la siguiente:

¿Es este filtro H( $\omega$ ) determinado de forma única en base al hecho de que estoy utilizando B-splines cúbicos? ¿O puedo tomar simplemente la función de caja?

\begin{align} H(\omega) = \left\{ \begin{array}{c} 1, |\omega| < \omega_{max} \\ 0, |\omega| \geq \omega_{max}\\ \end{array} \derecha. \Fin

Me encontré con una posible explicación aquí:

http://shulgadim.blogspot.ca/2014/01/1-d-b-spline-interpolation-via-digital.html

pero no estoy seguro de que esté exactamente relacionado con mi problema ya que en su suma, sólo tienen $c(l)$ , mientras que yo tengo $s(i)*h(i)$ .

Answer 1

Una explicación más sencilla del filtro $h$ es que se requiere obtener una interpolación de la señal discreta $s$ . (Tenga en cuenta que el apoyo de $\beta_3$ es el intervalo $[-2, 2]$ para que los soportes se superpongan al desplazarse sobre los enteros). Otra forma de leer esta fórmula de interpolación es $$\sum_{k\in \mathbb{Z}} s(k) \cdot (h \ast \beta_3)(x-k)$$ donde $h \ast \beta_3$ es una función cúbica a trozos con soporte infinito que desaparece en todos los enteros excepto en $0$ donde tiene valor $1$ . En esta forma se asemeja a la fórmula de interpolación de Shannon $$\sum_{k\in \mathbb{Z}} s(k) \cdot \operatorname{sinc}(x-k)$$ donde $$\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$$ El filtro de caja es la transformada de Fourier de $\operatorname{sinc}$ . Sin embargo, la transformada de Fourier de $h \ast \beta_3$ no es un filtro de caja (ya que $h \ast \beta_3 \neq \operatorname{sinc}$ ) pero en realidad es $$ \frac{3 \operatorname{sinc}^4(x)}{\cos(2\pi x) + 2}.$$ Trazando esta función revela que ya se aproxima bastante a una función de caja, razón por la cual los splines cúbicos son tan populares para la interpolación. Véase el excelente papel por Michael Unser para más información.