La pregunta fue tomada de "A First Course in Calculus" de Serge Lang. La sección particular donde se encontró esta pregunta es Exponentes y Logaritmos.
Si $a > 1$ , $x >0$ , demuestran que $x^a - 1 \ge a(x-1)$ .
Dejo que $f(x) = x^a - 1- ax + a$ . Tenga en cuenta que $f(0) = a - 1 > 0$ y si podemos demostrar que $f' \ge 0$ para $x>0$ entonces se cumple la desigualdad. Consideremos ahora la primera derivada $f'(x) = ax^{a-1} - a = a(x^{a-1} -1)$ . Basta con demostrar que $x^{a-1} - 1 \ge 0$ .
Estuve tentado de decir que como $a-1 > 0$ entonces $x^{a-1} > x^0 = 1$ para $x >0$ y por lo tanto $x^{a-1} - 1 \ge 0$ . Sin embargo, no sé realmente hasta qué punto es cierta mi afirmación anterior.
