Que la matriz $B$ = $AA^TA$ donde A es una matriz real de mxn. Entonces, ¿cómo podemos obtener $A$ de $B$ ? ¿Podemos hacer lo mismo si A es una matriz compleja? No tengo ni idea de cómo hacer este problema.
Respuestas
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Supongamos que $A$ tiene una descomposición de valor singular $U\Sigma V^T$ donde $U$ y $V$ son ortogonales, y $\Sigma$ diagonal semidefinida positiva.
En ese caso,
$$AA^TA=U\Sigma^3 V^T$$
Ahora piensa en lo contrario. Una descomposición SVD de $B$ tiene que compartir $U$ y $V^T$ con $A$ porque la descomposición es única hasta la permutación de los valores singulares (que solemos ordenar). Simplemente hay que dividir
$$B=U\Gamma V^T$$ y calcular $$\Sigma=\sqrt[3]{\Gamma}$$ donde se entiende que se toma la raíz cúbica de cada valor singular. Como son positivos, esto no es ambiguo.
Obsérvese que esto da una solución, pero no es única, porque la ecuación $\sigma_i^3=\gamma_i$ tiene $3$ soluciones (para cada valor singular, se puede elegir una raíz diferente).
Spencer
Puntos
48
El método de Orión funciona cuando $m=n$ . Sin embargo, un método similar funciona para cualquier $m,n$ . En tal caso, $\Sigma$ es un $m\times n$ matriz y $AA^TA=U\Sigma\Sigma^T\Sigma V^T$ . Afortunadamente, la matriz $\Sigma\Sigma^T\Sigma $ tiene exactamente la misma forma que $\Sigma$ En efecto, basta con cambiar cada $\Sigma_{i,i}$ con ${\Sigma_{i,i}}^3$ . Así, $U\Sigma\Sigma^T\Sigma V^T$ es "el" SVD de $B=AA^TA$ . Terminamos la construcción como lo hizo Orión.
