Una pregunta sobre las expectativas condicionales: $E[G(\xi)|F(\xi, \eta)]=E[G(\eta)|F(\xi, \eta)]$

Question

$\xi$ , $\eta$ son variables aleatorias, y son independientes e idénticamente distribuidas. $F(x, y)$ es una función de Borel tal que $F(x, y) = F(y,x)$ . $G$ es una función de Borel tal que $G(\xi)$ es integrable. Demostrar que $$E[G(\xi)|F(\xi, \eta)]=E[G(\eta)|F(\xi, \eta)].$$ ¿Puede alguien darme algunas pistas? Gracias.

Answer 1

Tiene que demostrar que $EG(\xi )I_{F(\xi, \eta )^{-1} (B)} =EG(\eta )I_{F(\xi, \eta )^{-1} (B)}$ para todo conjunto de Borel $B$ en $\mathbb R$ . Basta con escribir ambos lados como integrales respecto a la distribución conjunta de $\xi$ y $\eta$ . Según la hipótesis $(\xi, \eta )$ tiene la misma distribución conjunta que $( \eta , \xi)$ . Si cambias las variables en la integral del lado izquierdo obtendrás el lado derecho.