caracterización de los conjuntos abiertos afines en un esquema afín

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con unidad. Consideremos el esquema afín $\operatorname{Spec} R$ . Para un ideal $I$ de $R$ demostrar que $D(I)$ es afín si $I$ genera la unidad ideal en $\Gamma (D(I), \widetilde R)$

EDITAR:

Mi enfoque hasta ahora: Consideremos el morfismo cacnónico de $(D(I), \widetilde R)$ a $(Spec$ $S, \widetilde S)$ correspondiente al homomorfismo de anillo $ id: S\rightarrow S$ donde $S=\Gamma(D(I), \widetilde R)$ .

Es fácil ver que $D(I) \rightarrow Spec$ $S$ es un homeomorfismo debido a la condición $I$ genera la unidad ideal en $S$ con la inversa dada por $ Spec$ $S \rightarrow D(I)$ donde $q \mapsto \phi ^{-1}(q)$ donde $\phi : R \rightarrow S$ es el homomorfismo de anillo $res_{Spec R,D(I)}$ .

Para $p\in Spec$ $S$ tenemos el diagrama conmutativo $\require{AMScd}$ \begin{CD} S @>id>> S\\ @V V V @VV V\\ S_p @>>> {R_{\phi^{-1}(p)}} \end{CD}

Es evidente que el morfismo $S\rightarrow R_{\phi^{-1}(p)}$ es sobreyectiva pero estoy atascado con la inyectabilidad. ¿Alguna pista?

Answer 1

Tengo una solución que estoy publicando aquí para comprobar en las líneas de que random123 sugirió.

Así que un esquema $(X, \mathscr O_X)$ es afín si $\exists$ $ f_i$ $ i=1(1)n$ tal que $X= \cup X_{f_i}$ , $X_{f_i}$ es afín $\forall i$ y $f_i's$ generar $\Gamma(X,\mathscr O_{X})$ . Así que tenemos por la condición $\exists f_1, f_2... f_n \in I$ tal que $<f_i|_{D(I)} : i=1(i)n>=\Gamma(D(I),\widetilde R)$ . Es evidente que tenemos $D(I)_{f_i|_{D(I)}}=D(I) $ $\cap$ $(Spec$ $R)_{f_i}=D(I)\cap D(f_i)=D(f_i)$ que es afín y hemos terminado.

Observaciones: La prueba utiliza muy tácitamente el lema clave involucrado en la demostración del lema de comunicación afín. Cualquier otra idea/comentario/corrección es bienvenida.