Dado que lo has etiquetado como teoría de campo clásica, asumo que estás preguntando qué propiedades $\phi(x)$ debe admitir ecuaciones de movimiento que puedan derivarse de un principio de acción.
La propiedad $\phi(x)$ debe tener para ser susceptible por un principio de acción es que debe satisfacer ecuaciones de movimiento que son ecuaciones de Euler-Lagrange para alguna acción.
Lamentablemente, no conozco ningún documento sobre qué propiedades $\phi(x)$ debe tener, pero hay un teorema clásico sobre qué propiedades deben tener las ecuaciones, en la mecánica clásica. Si uno tiene $u : [0,T] \to \mathbb R^n$ que es diferenciable, y que satisface $\ddot u = f^i(u, \dot u)$ requerimos que para la existencia del Lagrangiano, la existencia de una matriz simétrica no sinular $M_{ij}(u,\dot u)$ satisfactorio:
- $$(M \Phi) = (M\Phi)^T$$
- $$\forall_{i,j}\quad \dot M_{ij} = \frac12 \frac{\partial f^k}{\partial \dot u^i} M_{kj} + \frac12 \frac{\partial f^k}{\partial \dot u^j} M_{ki} $$
- $$\forall_{i,j,k} \quad \frac{\partial M_{ij}}{\partial \dot u^k} = \frac{\partial M_{ik}}{\partial \dot u^j}$$
donde $\Phi^i_j = \frac12 \partial_t \partial_{\dot u^j} f^i - \partial_{u^j}f^i - \frac14 (\partial_{\dot u^k} f^i)(\partial_{\dot u^j} f^k)$ . Estas son las condiciones de Helmholtz. No conozco una generalización a la teoría de campos, pero este trabajo se ha ampliado en trabajos como aquí , aquí y las citas de este documento . Otra forma de ver estas condiciones es como las de $0+1$ -de la teoría del campo dimensional.
