Cómo integrar con variable ficticia, pulso rectangular y distribución dirac delta

Question

¿Cómo puedo integrar una función como ésta?

$$f(t) = \int_{-\infty}^{t}\prod(\tau-1.5)-\delta(\tau-3)d\tau$$

Donde $\prod(\tau-1/2)$ es un pulso rectangular desplazado (es decir, es igual a 1 en (1/2, 3/2)), y $\delta(\tau-3)$ es una Distribución Delta de Dirac desplazada. Mi intento se parece a esto:

$$\int_{1}^{t}u(\tau)d\tau - \int_{t}^{2}u(\tau)d\tau - \int_{-\infty}^{t}\delta(\tau-3)d\tau$$

Razono que, dado que el pulso rectangular está centrado en 1,5, y existe sólo en (1, 2) como resultado, que esto es equivalente a tomar una función de paso unitario de 1 a t (con t>1) y restar otra función de paso unitario de t a 2 (ya que t debe ser menor que 2 para mantenerse dentro de los límites del pulso rectangular). Luego, realizar la integración:

$$\tau|^{t}_{1} - \tau|^{2}_{t} - u(\tau)|^{t}_{3}$$

Que creo que debería ser:

$$f(t) = \begin{equation}2t-1, 1<t<2 \\ -1, 2<t \\ 0, \text{else} \end{equation}$$

Pero realmente no estoy seguro de haber enfocado esto correctamente.

Answer 1

Sólo hay que dividir las integraciones en intervalos en los cambios de comportamiento:

$$f(t) = \begin{cases} \int_{-\infty}^t \Pi(\tau-1.5)d\tau - \int_{-\infty}^t \delta(\tau-3)d\tau &= 0 - 0 & t < 1\\ \\ \int_{1}^t d\tau - \int_{-\infty}^t \delta(\tau-3)d\tau &= t-1 - 0 & 1 \le t \le 2 \\ \\ \int_{-\infty}^t \Pi(\tau-1.5)d\tau - \int_{-\infty}^t \delta(\tau-3)d\tau &= 1 - 0 & 2 < t < 3 \\ \\ \int_{-\infty}^t \Pi(\tau-1.5)d\tau - \int_{-\infty}^t \delta(\tau-3)d\tau &= 1-1 & t > 3 \\ \end{cases}$$

Más brevemente $$f(t) = \begin{cases} t-1 & 1 \le t \le 2 \\ \\ 1 & 2 < t < 3 \\ \\ 0 & \mathrm{otherwise} \\ \end{cases}$$