Dejemos que $x_n$ sea una secuencia que converge a un límite no nulo. Demostrar que todos, excepto un número finito de términos $x_n$ son distintos de cero.
Estoy tratando de utilizar la contradicción para demostrar, pero estoy confundido lo que "todos excepto finitamente muchos términos $x_n$ son distintos de cero" significa. ¿Significa que son finitamente cero o que todos son cero? Si no sé el significado, no puedo negar. ¿Podría alguien explicarme?
Demostrar que todos los términos, excepto los finitos, son $x_n$ son distintos de cero.
Se puede leer esto como
Demostrar que todos los términos $x_n$ son distintos de cero, excepto un número finito de [términos $x_n$ son cero].
Básicamente, quieren que demuestres que sólo un número finito de $x_n$ puede ser $0$ si $\lim x_n\neq 0$ . Esto probablemente se hará más fácilmente con una contradicción: supongamos que hay infinitos, entonces para cada $N$ hay un $n$ con $n>N$ y $x_n=0$ . ¿Puedes terminar la prueba?
Su secuencia tiene la misma cantidad de términos que los números naturales: Para cada $n \in \Bbb{N}$ tiene su correspondiente $x_n$ . Todo excepto lo finito significa que cada $x_n = 0$ excepto para un número finito de términos.
¿Cómo se puede negar esto? ¿Cuál es la negación de $\textit{all except finite}$ ?
Hay infinitos términos $x_n = 0$
Para estar seguro de que esta negación es correcta, intenta pensar cuál sería la negación de la negación, y verifica que lo es exactamente: Todo excepto lo finito $x_n$ son $0$ .
$limx_n=a\neq 0 (n\rightarrow \infty)\ iff$ por cada $\epsilon>0$ hay $n_0\in \mathbb{N}$ de manera que si $n>n_0$ entonces $|x_n-a|<\epsilon$
Toma $\epsilon=\frac{|a|}{2}$ ( $|a|$ es la distancia desde $a$ a 0). Sabemos que hay $n_0\in \mathbb{N}$ tal que para cada $n>n_0\ \ |x_n-a|<\frac{|a|}{2}$ . Esto implica que para cada $n>n_0\ \ x_n>0$ (si no está claro por qué esto es cierto, trate de dibujar una línea real y los puntos $a, x_n$ y $\frac{|a|}{2}$ vecindad del punto $a$ ). Esto significa que si hay algunos $x_n=0$ , se encuentran entre $x_1,\dots,x_{n_0}$ . El número máximo de elementos cero es $n_0$ , que es finito.
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