Encuentra las coordenadas del punto de la elipse $4x^{2}+y^{2}=4$ que es el más cercano a la línea recta $x+y=10$ . He podido resolverlo mediante el multiplicador de Lagrange. ¿Hay alguna forma de resolverlo gráficamente?
Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Leon Katsnelson
Puntos
274
El método del multiplicador de Lagrange tiene una buena interpretación gráfica.
Buscamos puntos donde las normales sean paralelas.
La normal de la línea es $(1,1)^T$ .
La normal a la elipse en $(x,y)$ viene dada por $(8x,2x)^T$ .
Por lo tanto, buscamos los puntos (x,y) situados en la elipse que satisfacen $(8x,2x)^T= \lambda (1,1)^T$ .
Esto da ${5 \over 16} \lambda^2 = 4$ o $\lambda = \pm \sqrt{64 \over 5}$ de la que podemos obtener el $(x,y)$ valores.
Alternativa :
Consideremos la familia de líneas paralelas $L_t$ dado por $x+y=t$ y encontrar el $t$ para que la intersección de la elipse y la línea $L_t$ resulta en exactamente un punto.
Sustituyendo $y=t=x$ en la ecuación de la elipse da como resultado $4x^2+(t-x)^2 =4$ y resolviendo para $x$ da $x = { t \pm 2 \sqrt{5-t^2} \over 5} $ . Por lo tanto, debemos tener $t = \pm \sqrt{5}$ . La sustitución da como resultado $x$ y luego $y = t-x$ .
Dark Shikari
Puntos
6178
Similar a Distancia perpendicular máxima entre la línea y la parábola : encuentra la tangente paralela a la línea.
se puede encontrar una forma de construir la solución utilizando compás y regla aquí
user254665
Puntos
4075
Cuando $A,B$ no son ambos cero, la distancia de un punto $(u,v)$ a la línea $A x +B y+C=0$ es $|A u+B v+C|/\sqrt {A^2+B^2}.\;$ Para un punto $(u,v)$ en la elipse $4 x^2+y^2=4,\;$ dejar $u=\cos t$ y $v=2\sin t.$ La distancia de $(\cos t, 2\sin t)$ a la línea $x+y-10=0$ es $ \;|\cos t+2\sin t -10|/\sqrt 2.\;$ El mayor valor de $(\cos t+2\sin t)$ es $\sqrt 5,$ que sólo se alcanza cuando $\cos t=1/\sqrt 5$ y $\sin t=2/\sqrt 5.$ Así que la distancia más corta de la elipse a la línea es $(10-\sqrt 5)/\sqrt 2\;$ que sólo se produce cuando $(u,v)=(\cos t,2\sin t)=(1/\sqrt 5,\;4/\sqrt 5).$
mvw
Puntos
13437
¿Hay alguna forma de resolverlo gráficamente?
Lo he medido en GeoGebra. Es aproximadamente $(0.39,1.84)^t$ .
( Versión grande )
Solución geométrica:
La línea $a$ fue $$ (x, y)^T \cdot (1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})^T = 10/\sqrt{2} $$ Una línea normal $b$ a la misma, con intersección $(x,y)^T$ en $a$ es $$ (x,y)^T + t (1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}) \quad (t \in \mathbb{R}) $$ Después de una distancia $d$ línea $b$ interseca la elipse en $(u,v)^T$ $$ 4 = 4u^2+v^2 \Rightarrow \\ v = 2 \sqrt{1-u^2} $$ donde elegimos la raíz positiva para el punto de intersección en la elipse más cercana a la línea $a$ . Tenemos $$ (x, y) - d (1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}) = (u, v) $$ Debemos tener $$ (u + d/\sqrt{2}, 2\sqrt{1-u^2}+d/\sqrt{2}) = (u + d/\sqrt{2}, 10-u-d/\sqrt{2}) $$ donde la ecuación para el $y$ -componentes da la distancia en términos de $u$ : $$ 2\sqrt{1-u^2}+d/\sqrt{2} = 10-u-d/\sqrt{2} \iff \\ d = \frac{10-u-2 \sqrt{1-u^2}}{\sqrt{2}} $$ Queremos minimizar $d$ en términos de $u$ y mira la derivada $$ d' = -\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2} \frac{u}{\sqrt{1-u^2}} $$ Para un extremo local esto debe desaparecer: $$ \frac{u}{\sqrt{1-u^2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \\ u = 1/\sqrt{5} \Rightarrow \\ v = 4/\sqrt{5} $$ Aquí el resultado es $(u,v) = (0.447, 1.789)$ .
Comparación:
La medición tenía un error de $13\%$ para $u$ y $3\%$ para $v$ . La distancia mínima calculada es $5.49$ por lo tanto, el mismo que el medido.
