Límite de $x_{n+1} = \frac{x_{n}}{1+\sqrt{x_n}}$

Question

Por métodos elementales, ¿cómo se encuentra el límite de esta secuencia?

$x_{n+1} = \frac{x_{n}}{1+\sqrt{x_n}}$

Answer 1

Es trivial demostrar que $x_n\ge 0$ . Además:

$x_n-x_{n+1}=x_n-\frac{x_n}{1+\sqrt{x_n}}=x_n\left(1-\frac{1}{1+\sqrt{x_n}}\right)=x_n\frac{\sqrt{x_n}}{1+\sqrt{x_n}}\ge 0$

Así que $x_n$ es decreciente y está limitada por debajo de $0$ por lo que es convergente $x_n\rightarrow l$

Tomando el límite a ambos lados de la recurrencia inicial obtenemos $l=\frac{l}{1+\sqrt{l}}$ que tiene como única solución $l=0$