¿Qué espacios tienen horofunciones bien conocidas?

Question

Siguiendo a Gromov, tomemos un espacio métrico $(X,d)$ y considerar $C(X)/\mathbb{R}$ el conjunto de funciones continuas a $\mathbb{R}$ con la topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos tras tomar el cociente por funciones constantes (es decir, dos funciones son equivalentes si la diferencia es una constante). Incrustar $X$ en este espacio por medio del mapa:

$x \mapsto f(x) = [d(x,\cdot)]$

Una horofunción es un elemento del cierre de $f(X)$ que no está en $f(X)$ .

En $\mathbb{R}^d$ todas las horofunciones están dadas por el producto interior con un vector unitario.

En el modelo de medio plano superior del disco hiperbólico la función $h(z) = \log(\text{Im}(z))$ es una horofunción y todas las demás se pueden obtener componiendo con isometrías hiperbólicas.

¿Qué otros espacios tienen horofunciones bien conocidas?

Por ejemplo, son horofunciones de las geometrías del modelo $\text{Nil}$ , $\text{Sol}$ y $\widetilde{\text{Sl}(2,R)}$ en dimensión $3$ ¿se conoce de forma relativamente explícita?

Sé que existe una relación general entre las horofunciones y las geodésicas (funciones de Busseman) en los espacios de curvatura no positiva. Sin embargo, me interesan los espacios en los que se puede calcular de forma relativamente explícita (por ejemplo, espacios en los que se sabe cómo es la función de distancia).

Answer 1

Por supuesto, el primer ejemplo deberían ser los espacios simétricos riemannianos no compactos, donde las funciones de Busemann (horofunciones en su terminología) se conocen de forma bastante explícita. No creo que haya otros ejemplos explícitos.

Más comentarios.

1) Los rayos geodésicos siempre convergen en esta compactificación de Busemann-Gromov, y no tiene nada que ver con la curvatura.

2) Nunca he entendido por qué la definición de esta compactación se formula en términos de convergencia uniforme en conjuntos compactos en lugar de convergencia puntual simple (de todos modos, para las funciones de Lipschitz el resultado es el mismo). En realidad, se trata de un caso particular de la compactación general de Constantinescu-Cornea (véase el libro de Brelot "On Topologies and Boundaries in Potential Theory"), otros ejemplos de los cuales son la compactación de Martin en la teoría del potencial o la compactación de Thurston en la teoría de Teichmuller.

REFERENCIAS AÑADIDAS

En lo que se refiere a las funciones de Busemann u horofunciones (prefiero llamarlas cociclos de Busemann, porque en el lenguaje invariante son cociclos, no funciones) para espacios simétricos, hay varias fuentes de diverso grado de explicitación.

(1) Para el grupo $SL(d,\mathbb R)$ (y el espacio simétrico asociado) el Busemann aparece esencialmente en la fórmula de Furstenberg para la tasa de crecimiento de los productos matriciales aleatorios, véase

MR0163345 (29 #648) Furstenberg, Harry Productos aleatorios no conmutativos. Trans. Amer. Math. Soc. 108 1963 377--428.

Desde el punto de vista geométrico, la idea principal es que si se quiere encontrar la tasa de crecimiento lineal de $d(o,g_1 g_2\dots g_n o)$ , donde $o$ es un punto de referencia, y $g_i$ es una secuencia estacionaria de isometrías aleatorias, entonces se puede observar el incremento $d(o,g_1 g_2\dots g_n o)-d(o,g_2 g_3\dots g_n o)=d(g_1^{-1}o,g_2g_3\dots g_n o)-d(o,g_2 g_3\dots g_n o)$ que converge al cociclo de Busemann $\beta_\gamma(o,g^{-1}o)$ proporcionado $g_2g_3\dots g_n o$ converge a un punto límite $\gamma$ en la compactación de Busemann. El propio cociclo se parece, a grandes rasgos, a $\log \|gv\|/\|v\|$ , donde $g$ es la matriz (o su potencia exterior) que representa un punto en el espacio simétrico, y $v$ es un vector que representa el punto límite. También hay mucho sobre esto en documentos posteriores de Guivarc'h.

(2) Los cociclos de Busemann aparecen naturalmente en varios trabajos relacionados con las compactificaciones de espacios simétricos. Históricamente la primera fuente es la monografía de Karpelevich

MR0231321 (37 #6876) Karpelevic, F. I. La geometría de las geodésicas y las funciones propias del operador de Beltrami-Laplace en los espacios simétricos. Trudy Moskov. Mat. Obšc. 14 48--185 (ruso); traducido como Trans. Moscow Math. Soc. 1965 1967 pp. 51--199. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1967.

donde discute explícitamente los lápices de geodésicas convergentes e introduce las coordenadas horosféricas asociadas. Las exposiciones posteriores se encuentran en dos libros sobre compactificaciones de espacios simétricos:

MR1633171 (2000c:31006) Guivarc'h, Yves(F-RENNB-IM); Ji, Lizhen(1-MI); Taylor, J. C.(3-MGL) Compactificaciones de espacios simétricos. (Resumen en inglés) Progreso en Matemáticas, 156. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1998. xiv+284 pp. ISBN: 0-8176-3899-7

y

MR2189882 (2007d:22030) Borel, Armand(1-IASP); Ji, Lizhen(1-MI) Compactificaciones de espacios simétricos y localmente simétricos. Mathematics: Teoría y Aplicaciones. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2006. xvi+479 pp. ISBN: 978-0-8176-3247-2; 0-8176-3247-6

Answer 2

Un posible lugar donde buscar (aparte de los espacios simétricos) es el producto alabeado de las métricas hiperbólicas, una métrica de la forma $dr^2+e^{C_1r} dx^2 + e^{C_2r}dy^2$ , $C_1, C_2 >0$ . Entonces $r$ es una horofunción. Si uno pudiera calcular la horofunción para otro punto de la frontera de Gromov, entonces, como el grupo de isometría actúa transitivamente en estos otros puntos de la frontera de Gromov, uno tendría un cálculo para todos los puntos. Sin embargo, imagino que calcular las otras horofunciones podría ser complicado, ya que no sé cómo calcular las geodésicas explícitamente.

Answer 3

Algunas observaciones, no una respuesta. Parece, por [J. Cheeger y D. Gromoll, The splitting theorem for manifolds of nonnegative Ricci, J. Diff. Geom. 6 (1971) 119-128.] se deduce que las horofunciones en Nil, Sol y \tilde Sl(2,R) son superarmónicos? (¿La curvatura de Ricci es no positiva?) Sé que los espacios de la horofunción, las funciones de Busseman coinciden con el límite ideal de Gromov (espacios de rayos) cuando la curvatura seccional es no positiva. (Para la curvatura no negativa estas fronteras ideales podrían ser diferentes. Para el grupo de Heisenberg Heis^{2n+1} con métrica invariante a la izquierda, la frontera ideal de Gromov es la esfera S^{2n-1} con métrica de Carnot-Caratheodory, y se conocen las ecuaciones de las geodésicas, pero no las horofunciones.