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Ley del arcoseno para el movimiento browniano

Esta es la pregunta:

(Bt,t0) es un movimiento brwoniano estándar, que comienza en 0 . St=sup . T=\inf\{t\ge 0: B_t=S_1\} . Demostrar que T sigue la ley arcsinus con la densidad g(t)=\frac{1}{\pi\sqrt{t(1-t)}}1_{]0,1[}(t) .

He utilizado la propiedad de Markov para obtener la siguiente igualdad:

P(T<t)=P(\sup_{t<s<1}B_s<S_t)=E(P(\sup_{0<s<1-t}(B_{t+s}-B_t)<S_t-B_t|F_t))=P(\hat{S}_{1-t}<S_t-B_t).

donde \hat{S}_{1-t} se define para el movimiento browniano \hat{B}_s=B_{t+s}-B_t que es independiente de F_t .

Sin embargo, el principio de reflexión nos dice que S_t-B_t tiene la misma ley que S_t por lo que también podemos escribir que P(T<t)=P(\hat{S}_{1-t}<S_t) .

En este punto, podemos calcular P(T<t) porque conocemos la densidad conjunta de (\hat{S}_{1-t},S_t) pero este cálculo conduce a una forma complicada de integral y no puedo obtener la densidad g al final.

¿Sabes cómo obtener la ley del arcoseno? Gracias.

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Did Puntos 1

Partamos de la fórmula \mathbb P(T\lt t)=\mathbb P(\hat S_{1-t}\lt S_t) , donde 0\leqslant t\leqslant 1 y \hat S_{1-t} y S_t son los máximos en los tiempos 1-t y t de dos movimientos brownianos independientes.

Dejemos que X y Y denotan dos variables aleatorias normales i.i.d., entonces (\hat S_{1-t},S_t) coincide en su distribución con (\sqrt{1-t}|X|,\sqrt{t}|Y|) por lo que \mathbb P(T\lt t)=\mathbb P(\sqrt{1-t}|X|\lt\sqrt{t}|Y|)=\mathbb P(|Z|\lt\sqrt{t}), donde Z=X/\sqrt{X^2+Y^2} . Ahora, Z=\sin\Theta donde la variable aleatoria \Theta es el argumento del vector aleatorio bidimensional (X,Y) cuya densidad es \mathrm e^{-(x^2+y^2)/2}/(2\pi) que es invariante por las rotaciones del centro (0,0) . Por lo tanto, \Theta se distribuye uniformemente en [-\pi,\pi] y \mathbb P(T\lt t)=\mathbb P(|\sin\Theta|\lt\sqrt{t})=2\,\mathbb P(|\Theta|\lt\arcsin\sqrt{t})=\tfrac2\pi\,\arcsin\sqrt{t}. La densidad de la distribución de T sigue por diferenciación.

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