Esta es la pregunta:
(Bt,t≥0) es un movimiento brwoniano estándar, que comienza en 0 . St=sup . T=\inf\{t\ge 0: B_t=S_1\} . Demostrar que T sigue la ley arcsinus con la densidad g(t)=\frac{1}{\pi\sqrt{t(1-t)}}1_{]0,1[}(t) .
He utilizado la propiedad de Markov para obtener la siguiente igualdad:
P(T<t)=P(\sup_{t<s<1}B_s<S_t)=E(P(\sup_{0<s<1-t}(B_{t+s}-B_t)<S_t-B_t|F_t))=P(\hat{S}_{1-t}<S_t-B_t).
donde \hat{S}_{1-t} se define para el movimiento browniano \hat{B}_s=B_{t+s}-B_t que es independiente de F_t .
Sin embargo, el principio de reflexión nos dice que S_t-B_t tiene la misma ley que S_t por lo que también podemos escribir que P(T<t)=P(\hat{S}_{1-t}<S_t) .
En este punto, podemos calcular P(T<t) porque conocemos la densidad conjunta de (\hat{S}_{1-t},S_t) pero este cálculo conduce a una forma complicada de integral y no puedo obtener la densidad g al final.
¿Sabes cómo obtener la ley del arcoseno? Gracias.