Ley del arcoseno para el movimiento browniano

Question

Esta es la pregunta:

$(B_t,t\ge 0)$ es un movimiento brwoniano estándar, que comienza en $0$ . $S_t=\sup_{0\le s\le t} B_s$ . $T=\inf\{t\ge 0: B_t=S_1\}$ . Demostrar que $T$ sigue la ley arcsinus con la densidad $g(t)=\frac{1}{\pi\sqrt{t(1-t)}}1_{]0,1[}(t)$ .

He utilizado la propiedad de Markov para obtener la siguiente igualdad:

$P(T<t)=P(\sup_{t<s<1}B_s<S_t)=E(P(\sup_{0<s<1-t}(B_{t+s}-B_t)<S_t-B_t|F_t))=P(\hat{S}_{1-t}<S_t-B_t).$

donde $\hat{S}_{1-t}$ se define para el movimiento browniano $\hat{B}_s=B_{t+s}-B_t$ que es independiente de $F_t$ .

Sin embargo, el principio de reflexión nos dice que $S_t-B_t$ tiene la misma ley que $S_t$ por lo que también podemos escribir que $P(T<t)=P(\hat{S}_{1-t}<S_t)$ .

En este punto, podemos calcular $P(T<t)$ porque conocemos la densidad conjunta de $(\hat{S}_{1-t},S_t)$ pero este cálculo conduce a una forma complicada de integral y no puedo obtener la densidad $g$ al final.

¿Sabes cómo obtener la ley del arcoseno? Gracias.

Answer 1

Partamos de la fórmula $\mathbb P(T\lt t)=\mathbb P(\hat S_{1-t}\lt S_t)$ , donde $0\leqslant t\leqslant 1$ y $\hat S_{1-t}$ y $S_t$ son los máximos en los tiempos $1-t$ y $t$ de dos movimientos brownianos independientes.

Dejemos que $X$ y $Y$ denotan dos variables aleatorias normales i.i.d., entonces $(\hat S_{1-t},S_t)$ coincide en su distribución con $(\sqrt{1-t}|X|,\sqrt{t}|Y|)$ por lo que $$\mathbb P(T\lt t)=\mathbb P(\sqrt{1-t}|X|\lt\sqrt{t}|Y|)=\mathbb P(|Z|\lt\sqrt{t}),$$ donde $Z=X/\sqrt{X^2+Y^2}$ . Ahora, $Z=\sin\Theta$ donde la variable aleatoria $\Theta$ es el argumento del vector aleatorio bidimensional $(X,Y)$ cuya densidad es $\mathrm e^{-(x^2+y^2)/2}/(2\pi)$ que es invariante por las rotaciones del centro $(0,0)$ . Por lo tanto, $\Theta$ se distribuye uniformemente en $[-\pi,\pi]$ y $$\mathbb P(T\lt t)=\mathbb P(|\sin\Theta|\lt\sqrt{t})=2\,\mathbb P(|\Theta|\lt\arcsin\sqrt{t})=\tfrac2\pi\,\arcsin\sqrt{t}.$$ La densidad de la distribución de $T$ sigue por diferenciación.