Estoy intentando demostrar la buena composición global de la ecuación de Klein-Gordon con radial datos iniciales. Por lo tanto, estoy buscando/tratando de probar estimaciones de Strichartz de la forma $$ ||e^{it\langle D\rangle}u||_{L^q_{t}L^r_{x}}\lesssim||\langle D\rangle^lu||_{L^{2}}$$ o $$||P_{L}((e^{it\langle D\rangle}u_{M})(e^{it\langle D\rangle}v_{N}))||_{L_{2}}\lesssim L^lM^mN^n||u_{M}||_{L^{2}}||v_{N}||_{L^{2}}$$ con índices $l,m,n$ lo más pequeño posible. Donde $P_{L}$ es el proyector Littlewoodpaley, $e^{it\langle D\rangle}$ el propagador de la ecuación de Klein-Gordon (masa 1) y $L,M,N$ frecuencias.
Soy consciente de que tienes más exponentes de strichartz admisibles $(q,r)$ para el primer tipo de estimación si se dispone de datos radiales (el resultado se resume aquí: http://wiki.math.toronto.edu/DispersiveWiki/index.php/Strichartz_estimates ) pero no puedo ver si/cómo eso puede ayudarme ya que obtendré lo mismo $l$ como con los datos no radiales. ¿Me he perdido algo?
Tampoco sé cómo probar la primera desigualdad para datos no radiales. Sé que es cierta para $2\leq r<\infty$ , $2/q+n/r=n/2$ , $l=1/q-1/r+1/2$ y me dijeron que encontrara la prueba en Delort y Fang(2000) pero no puedo. (Espero que la prueba me ayude a entender cómo puedo mejorar el resultado para las funciones radiales)
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Para la estimación estándar (primera desigualdad) no creo que haga falta recurrir a algo tan potente como Delort y Fang. La técnica de caja negra de Keel-Tao ("Estimaciones Endporint Strichartz") es esencialmente la misma. En el artículo de K-T sólo tratan explícitamente a Wave y Schrodinger, pero si se inserta la expresión $L^1-L^\infty$ decadencia para Klein-Gordon (que se puede obtener mediante estimaciones de tipo fase estacionaria) se puede interpolar exactamente de la misma manera contra la conservación de la energía para obtener las estimaciones.
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Tenga en cuenta, no obstante, que en 2 dimensiones hay alguna salvedad; véase sciencedirect.com/science/article/pii/S0021782410001182 para una prueba allí. ; Dudo que usted puede conseguir mejor $l$ en el caso radial: el argumento que establece la diferenciabilidad es esencialmente un argumento de escala. Se puede hacer conservando la radialidad de los datos. Que el $(q,r)$ exponentes puede mejorarse se debe a que la obstrucción que hay se debe al contraejemplo de Knapp, que se debilita en el caso radial.
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Su segunda desigualdad implicará que el espaciotiempo $L^4$ Estima Strichartz. Para Klein-Gordon es compatible con la dimensión 2. Pero en la forma en que está planteada es mejor tratarla como una estimación bilineal espaciotemporal. Puesto que estás estudiando el caso de frecuencia restringida, probablemente puedas aprender algo de arxiv.org/abs/1001.5372 y arxiv.org/abs/1003.5978 . Los dos documentos son para ecuaciones de onda, pero se pueden sustituir fácilmente los espacios de onda-Sobolev por $X^{s,b}$ espacios adaptados a Klein-Gordon y utilizan más o menos las mismas técnicas.
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El hecho de que en los trabajos de Selberg y colaboradores se hagan restricciones angulares también debería ayudar a saber dónde pueden ayudar los datos radiales.
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1. Puedo ver, que el contraejemplo Knapp se debilita, lo que no entiendo es por qué es en absoluto útil que usted obtenga más (q,r) que son admisibles. ¿Cómo puede eso ayudar a demostrar la wellposedness? Los procedimientos que conozco sólo utilizan $L^4$ o $L^2$ estimaciones. 2. He estudiado a fondo los dos artículos a los que me has remitido y veo que esto puede aplicarse a KGE, pero no veo qué tienen que ver las restricciones angulares con los datos radiales. La cuestión es que el procedimiento descrito allí (y utilizado en la mayoría de los demás documentos) se basa únicamente en las intersecciones y no en los atributos específicos de los datos iniciales.
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1. Para el problema de bien planteado de ecuaciones no lineales, la ampliación de los rangos admisibles para (q,r) permite tratar más tipos de no linealidades. Véase un ejemplo en Klainerman-Machedon, "Spacetime estimates for null forms and the local existence theorem", CPAM (1993). En particular, preste atención al Teorema 2, Teorema 3, Proposición 4 y Observación 1.
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2. Las transformadas de Fourier de las funciones radiales son radiales. La razón por la que se necesita el corte angular en general es que ciertas "estimaciones en el peor de los casos" que se producen, si intentas estimar ingenuamente sin hacer el corte, te darán una contribución mayor de la que realmente hay. Si se sabe a priori que las funciones son radiales, algunos de estos peores escenarios no pueden ocurrir, y se pueden obtener mejores estimaciones.
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Otra forma de decirlo es que los cortes angulares están diseñados para resolver un problema concreto (aislar ciertos tipos de interacciones), y este problema se exagera cuando los datos no son puramente radiales. Así que entender por qué se necesita este procedimiento en el documento le ayudará a entender lo que puede salirse con la suya cuando los datos son de hecho radiales.