Demostrar que $f(x) = x\sin(1/x)$ es diferenciable en todas partes donde $x\ne0$ .

Question

Tengo que demostrar que $f(x)= x\sin(1/x)$ es continua en todas partes diferenciable en todas partes donde $x\ne 0$ .

Puedo mostrar la propiedad continua, y cómo no es diferenciable cuando $x=0$ pero ¿cómo puedo demostrar que es diferenciable para todos los $x$ , de tal manera que $x\ne 0$ .

Tratando de ponerlo en la definición de la derivada y simplificando no funciona (no pude obtener una respuesta adecuada.)

Cualquier sugerencia sobre cómo proceder sería muy apreciada.

Answer 1

Dejemos que $g(x) = x$ , $h(x) = \sin(x)$ y $k(x) = \frac{1}{x}$ definido para todos los $x \neq 0$ . Entonces lo que tienes es que $f(x) = g(x) \cdot h(k(x))$ . En otras palabras, $f$ se crea mediante el producto y la composición de funciones "bonitas". Así, si se sabe que $g, h,$ y $k$ son diferenciables (cuando $x \neq 0$ ) y si se conoce la regla del producto y la regla de la cadena, entonces la diferenciabilidad de $f$ debe seguir.

Answer 2

¿sabe usted que $\sin$ , $x$ y $1/x$ son continuamente diferenciables en todas partes (pero $0$ en el último caso)? si es así sólo hay que utilizar el hecho de que una composición y un producto de $C^1$ funciones es $C^1$

editar: para que quede claro - $C^1$ significa continuamente diferenciable

Answer 3

$$\text{Suppose the limit did exist then use the below to get a contradiction.}$$

$$\text{Limit Rule:} \ \lim x_n \to X \ \text{and} \ \lim y_n \to Y \Rightarrow \lim x_n y_n = XY$$