Es $\frac{10}{459}$ un cubo en $\Bbb{Q}_3$ ?

Question

Es $\frac{10}{459}$ un cubo en $\Bbb{Q}_3$ ¿los números triádicos?

Mi estrategia general para mostrar si algo es un cubo en $\Bbb{Q}_3$ ha sido:

• Utiliza el lema de Hensel para demostrar que es (1)
• Si no lo es, supongamos por contradicción que es un cubo e igualemos las valoraciones triádicas para ver si encontramos una contradicción (2)
• Si no lo es, supongamos por contradicción que es un cubo y reduzcamos a módulo $3^k$ para algunos $k$ y tratar de llegar a una contradicción. (3)

(2) no ayuda en este caso, y no creo que pueda aplicar ni (1) ni (3) ya que el número en cuestión es una fracción.

¿Cómo puedo intentar responder a la pregunta? "¿Es $x$ un cubo en $\Bbb{Q}_3$ ?" en este caso concreto, cuando $x = \frac{10}{459}$ y también estoy interesado en una estrategia general para cuando $x$ es una fracción.

Gracias.

Answer 1

Primero determina la valoración de la fracción obteniéndola para el numerador y el denominador:

$v(10)=0, v(459)=v(17×27)=3, v(10/459)=v(10)-v(459)=-3=\text{a multiple of 3}$

Entonces, como $v(10/459)$ es un múltiplo de $3$ Tendremos un cubo si el entero que se obtiene al desplazar la "coma decimal" para que el último dígito no nulo esté en el lugar de las unidades es un cubo. Multiplica tu fracción por $3^3=27$ para realizar este ajuste, configurando $v$ a cero:

$(10/459)×3^3=10/17$

La fracción resultante será un cubo de 3 raíces, completando nuestra prueba, si su residuo $\bmod 9$ es $\pm1$ . Aquí $10\equiv1$ y $17\equiv-1$ Así que $(10/17)\equiv-1$ haciendo que sea un $3$ -cubo de la adicción, y luego $(10/17)×(1/3^3)=10/459$ también lo será.