monotonicidad examinando el signo de la derivada

Question

Dado : $x>0 ,y >0 ,b>a>0$
demuestre lo siguiente utilizando la derivada de una función apropiada:
$${(x^b+y^b)}^{(1/b)} < {(x^a+y^a)}^{(1/a)}$$

Intenté usar $f(x)=(m^x+n^x)^{(1/x)}$ y
$f(x)={(1+k^x)}^{(1/x)}$

Answer 1

$f(t) = (x^t+y^t)^{1/t} \to \ln (f(t)) = \dfrac{\ln(x^t+y^t)}{t} \to \dfrac{f'(t)}{f(t)} = \dfrac{\dfrac{\ln x^t\cdot x^t+\ln y^t\cdot y^t}{x^t+y^t}-\ln(x^t+y^t)}{t^2}$ . Sustituir $u = x^t, v = y^t\to u\ln u + v\ln v <(u+v)(\ln u + \ln v)$ que es verdadera si $u, v > 1$ y $f$ disminuye, por lo que $f(b) < f(a)$ . Al hacer esto, asumimos además $b, a > 1$ .