¿Transposición de una función de la elipse para estirar la elipse en el espacio curvo?

Question

Estoy trabajando en un proyecto de ingeniería, el uso de software CAD.

Puedo escribir simple paramétrica de funciones para dibujar una elipse, con $\theta$ desde $0$ $2\pi$radianes:$$x=3.75\cos\theta$$$$y=1.25\sin\theta$$

Pero ahora estoy en un punto donde tengo que doblar la elipse a través de una curva parabólica.
Aquí hay un diagrama que muestra la curva el espacio me gustaría bend/estirar mi elipse.

El blanco de la parte más inferior de la curva es la curva parabólica definida por la función:

$$y=-\frac{x(x+30)}{45}$$

Las otras dos curvas verdes se definen como paralelo (equidistante) a la parábola en todos los puntos de coincidencia de los planos por encima de los rectángulos.

Como se puede ver en el diagrama, la vertical del eje menor de la elipse se convierte inclinada, haciendo que la parte superior de la elipse más "larga" de la parte inferior de la elipse - que sigue el estiramiento de la envolvente del espacio.
Pero la elipse todavía debe tocar la parte superior y la parte inferior de la inclinada del eje menor, así como tocar el extremo izquierdo de la verde del centro de la curva, que es el transformado del eje mayor de la elipse.

Así que la pregunta es, ¿cómo transponer mi simple elipse funciones para estirar la elipse en este espacio curvo?

En sus respuestas, siéntase libre de colocar el origen desde donde sea más conveniente para su solución. Voy a tener que traducir las soluciones de todos modos, para moverlos a su lugar adecuado en mi diagramas de ingeniería. :)

Edit: se me ha preguntado si las coordenadas polares sería aceptable, en lugar de coordenadas Cartesianas. Mi CAD software de apoyo a coordenadas polares, así que para cualquiera que esté considerando responder a esta pregunta, siéntase libre de crear tus respuestas con las coordenadas polares si que haría las cosas más fáciles para usted.

Answer 1

Suponga que la parábola está dada por $$y=a x^2+b x + c$$ Su derivada es $y'=2 a x + b$. Un vector perpendicular a su parábola en el punto de $(x,y)$ es así $$(-2 a x - b,1)$$ Permítanos normalizar este vector $$\vec{n}=\frac{(-2 a x - b,1)}{\sqrt{(2 a x + b)^2+1}}$$ Las curvas de distancia $d$ de su parábola (en verde en la figura) son así $$(x,a x^2+b x + c)+d\vec{n}$$ La fórmula anterior se transforma cartesiano-como coordenadas $(x,d)$ en el espacio transformado $$T(x,d)=(x,a x^2+b x + c)+d\vec{n}$$ Todo lo que tenemos que hacer es alimentar a la elipse expresión de esta transformación $$T(r_1\cos(\theta)+r_1,r_2\sin(\theta)+r_2)$$ esto le da una curva con las características deseadas.

Ejemplo:

Esta curva toca las líneas rectas en sus puntos medios. También touces la parte superior e inferior de la curva de una vez, pero no en su exacto punto medio. Si desea una curva que toca a la parte inferior de las curvas en su exacto punto medio, deberá parametrizar su parábola por su longitud de arco, que es no es posible en términos de funciones elementales.

Answer 2

El mapa $$s\mapsto\left\{\eqalign{x_0(s)&:={\rm arsinh}\, s \cr y_0(s)&:=1-\sqrt{1+s^2}\cr}\right.\qquad(-\infty<s<\infty)$$ los mapas de la $s$-eje isométricamente en la catenaria $$\gamma:\qquad y=1-\cosh x=-{1\over2}x^2-{1\over24}x^4+?x^6\ ,$$ que está en el rango establecido una muy buena aproximación a la parábola $y=-{1\over2}x^2$. Uno calcula $$\dot x_0(s)={1\over\sqrt{1+s^2}},\qquad\dot y_0(s)=-{s\over\sqrt{1+s^2}}\ ,$$ confirming that $\punto x_0^2(s)+\dot y_0^2(s)\equiv1$. De ello se desprende que el mapa $$(s,t)\mapsto\left\{\eqalign{x(s,t)&:={\rm arsinh}\, s+{t s\over\sqrt{1+s^2}} \cr y(s,t)&:=1-\sqrt{1+s^2}+{t\over\sqrt{1+s^2}}\cr}\right.\qquad(-\infty<s<\infty, \ -h<t<h)\tag{1}$$ los mapas de la franja horizontal $|t|<h$, $h>0$ lo suficientemente pequeño, de la $(s,t)$-plano bijectively en una curva de la tira a lo largo de la catenaria $\gamma$ de tal manera que (i) el alma $t=0$ se asigna isométricamente en $\gamma,$ y (ii) los segmentos verticales $t\mapsto (s_0,t)$ $(-h<t<h)$ se asignan isométricamente en los segmentos verticales ortogonal a$\gamma$$\bigl(x_0(s_0),y_0(s_0)\bigr)\in\gamma$. De esta manera las líneas horizontales $s\mapsto(s, t_0)$ $(-\infty<s<\infty)$ se asignan en paralelo de las curvas de $\gamma$ a pie $|t_0|$$\gamma$.

Si ahora se les da una curva $$\theta\mapsto\bigl(s(\theta),t(\theta)\bigr)\qquad(0\leq\theta\leq\Theta)\tag{2}$$ in the $(s,t)$-plane, e.g., an ellipse, then you immediately obtain a parametric representation of its distorted image in the $(x,y)$-plane by composing the representation $(2)$ with $(1)$.

Answer 3

Yo no soy ingeniero, pero de repente me siento muy atraído a su problema.

En la figura siguiente, me he vuelto su dibujo con el fin de visualizar claramente de forma consistente con la función de la definición de su parábola. Lo que interesa es la región indicada por asteriscos, donde la línea azul es normal para su parábola en el punto de $(-30, 0)$ verde y desplazados parábola es -2.5 hacia abajo el rojo original.

Yo creo que tu problema puede ser visto como "doblar" el rectángulo con lados de 2.5 y 15 más de la "curva" de la elipse. Estoy equivocado? Si es así, la figura a continuación proporciona la solución por la facilidad de los cálculos.

Answer 4

Mi instinto dice que esta curva se extiende es el enfoque equivocado. Cualquier respuesta que se obtiene será inútil para su programa de CAD.

He aquí un dibujo de las curvas y el inalterada de la elipse:

Mi método sería utilizar su programa de CAD para dibujar una línea que es tangente a la mitad inferior de la elipse y la línea azul, a continuación, utilizar splines/curvas de Bézier para suavizar la izquierda de la intersección entre la mitad superior de la elipse y de la línea roja. A continuación, puede descartar la parte derecha de la elipse, dejando la parte inferior cuadrático de la curva, a la izquierda del arco de la elipse, y el superior de la curva de color rojo como su forma.

En última instancia, no importa lo que el real de la ecuación es. Todo lo que importa es que el diseño puede ser fabricado. En referencia a tu pregunta anterior, no creo que el flujo de aire se va a diferenciar mucho entre el coseno, cúbica de Bézier, cuadrática y curvas.