¿Por qué los morfismos entre módulos indecomponibles no isomorfos son siempre radicales?

Question

Estoy tratando de seguir la construcción del carcaj de Auslander-Reiten del álgebra de Kronecker, dada por Barot en su libro Introducción a la teoría de la representación de las álgebras .

Allí define un morfismo $f: M \to N$ entre $A$ -módulos $M$ , $N$ para ser radical si para cada morfismo $g: N \to M$ es cierto que $\xi = 1_M - g \circ f$ es un isomorfismo.

Ahora, en la demostración del lema 6.2, afirma:

[...] Como los morfismos entre indecomponibles no isomorfos son siempre radicales [...]

Estoy tratando de averiguar por qué esto es así. He descubierto que $\ker(\xi)$ no puede ser $M$ ya que esto significaría que $g$ es una retracción y por lo tanto $N \cong M \oplus \ker(g)$ que da como resultado $M=0$ o $M \cong N$ , ambas cosas no se pueden sostener por suposición.

Sin embargo, creo que he confundido los términos módulo irreducible y módulo indecomponible y por lo tanto no estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí (si es que es posible).

Answer 1

Barot utiliza el ejemplo 3.23 del mismo libro que es la siguiente:

Por espectroide se entiende un $k$ -categoría lineal $\mathcal{C}$ tal que

1. $\mathcal{C}(x,y)$ es de dimensión finita;
2. $\text{End}_{\mathcal{C}}(x,x)$ es local para cada $x\in\mathcal{C}$ ;
3. los objetos no son isomorfos por pares.

Para sus fines, está considerando la categoría cuyos objetos son indecomponibles $A$ -módulos.

Ahora bien, la prueba de este ejemplo no se da, o al menos no la he podido encontrar, en el libro. Sin embargo, el mismo resultado está en el apéndice A3 de Assem-Simson-Skowronski :

y a continuación está la prueba de (b):

Si no tienes acceso a este libro, el resultado (I.1.3) es el siguiente

Lema Dejemos que $A$ ser un $k$ -entonces las siguientes son equivalentes para $a\in A$ :

• $a\in\text{rad}\,A$ ;
• $a$ está en la intersección de todos los ideales maximales izquierdos de $A$ ;
• para cualquier $b\in A$ el elemento $1-ab$ tiene un inverso de dos lados;
• para cualquier $b\in A$ el elemento $1-ab$ tiene un inverso derecho;
• para cualquier $b\in A$ el elemento $1-ba$ tiene un inverso de dos lados;
• para cualquier $b\in A$ el elemento $1-ba$ tiene un inverso a la izquierda.