Cuál es el límite del toro sólido $\mathbb D^2 \times \mathbb S^1$ ? Y extenderlo a una dimensión superior.

Question

Sabemos que el límite del toro sólido del manificio 3 $\mathbb D^2 \times \mathbb S^1$ es $\mathbb S^1 \times \mathbb S^1$ .

Ahora la pregunta es la siguiente:

¿Cómo se generaliza esto a dimensiones mayores que 3?

¿Puede alguien decirme qué significa esta pregunta? ¿Dice que lo extienda para el género superior?

Gracias.

Answer 1

No, mayor dimensión no es lo mismo que mayor género. El género de una superficie se refiere a cuántas "asas" tiene, mientras que la dimensión es para la que $n$ es localmente homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ (y ni siquiera utilice la palabra "superficie" a menos que $n=2$ .)

El toro sólido $\mathbb{D}^2\times \mathbb{S}^1$ es una variedad tridimensional, y su límite el toroide $\mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^1$ es bidimensional.

Un análogo de mayor dimensión de esta pregunta sería "¿cuál es el límite de $\mathbb{D}^3\times \mathbb{S}^2$ ? Y la respuesta sería $\mathbb{S}^2\times \mathbb{S}^2.$

O tal vez una dimensión más alta, "cuál es el límite de $\mathbb{D}^3\times \mathbb{S}^1$ ? Respuesta: $\mathbb{S}^2\times \mathbb{S}^1.$

O cuál es el límite de $\mathbb{D}^2\times (\mathbb{S}^1)^{n-1}$ ? Respuesta: $\mathbb{S}^1)^n$ , a veces llamado el $n$ -toroidal o $n$ -toro (pero no lo confunda con el $n$ -toro de la mano).

En general, el límite de $\mathbb{D}^{m+1}\times \mathbb{S}^n$ es $\mathbb{S}^{m}\times \mathbb{S}^n.$

Incluso más En general, tenemos para cualquier variedad con límite $X$ y $Y$ ,

$$\partial(X\times Y)=\partial X\times Y\cup X\times\partial Y.$$