Dejemos que $\mathfrak{g}$ sea un álgebra de Lie compleja simple, $\mathfrak{h}$ una subálgebra de Cartan, $\Phi \subset \mathfrak{h}^*$ el sistema de raíces asociado, $\Sigma = \{\sigma_i : i\in I\}$ una base de raíces simples. Además, dejemos que $\lambda$ sea un peso dominante (tal vez incluso un peso fundamental si esto simplifica algo), y dejemos que $V_\lambda$ sea el irreducible $\mathfrak{g}$ -módulo de mayor peso $\lambda$ .
Dicho vagamente, mi pregunta es:
¿Existe una base "agradable" para $V_\lambda$ ¿que lo hace algorítmicamente conveniente para tratar?
Ahora tengo que admitir que no sé exactamente lo que quiero de esa base, salvo como mínimo que tiene que ser compatible con la descomposición en pesos (es decir, dividida en conjuntos de igual peso), que la acción de $\mathfrak{g}$ en $V$ debería ser cómodo de escribir (cuando $\mathfrak{g}$ se le da una base "bonita", véase más adelante), y que la simetría del grupo de Weyl debe ser "lo más aparente posible".
La construcción estándar de $V_\lambda$ como cociente del módulo de Verma correspondiente no parece dar una buena base (el módulo de Verma en sí es razonablemente transparente, pero cuando se trata de encontrar una base para el cociente, si bien ésta es computable, no veo cómo hacerlo de una manera bien simétrica).
Sin embargo, para algunos $\lambda$ se conoce una buena base:
Si $\lambda$ es la raíz más alta, correspondiente a $V_\lambda$ siendo la representación adjunta, entonces esta nota de Meinolf Geck describe una base para $V_\lambda = \mathfrak{g}$ que se debe a Lusztig y a trabajos anteriores de Chevalley y Tits (no entiendo muy bien cómo se relacionan estas contribuciones, pero eso no importa aquí). Una base de Chevalley está formada por los elementos $h_i$ para $i\in I$ (todos con peso $0$ ) y $e_\alpha$ para $\alpha\in\Phi$ (con los pesos correspondientes). La acción adjunta viene dada por $[h_i,h_j] = 0$ y $[h_i,e_\alpha] = (\alpha,\sigma_i^\vee)\, e_\alpha$ y $[e_{-\alpha},e_\alpha] = \sum_{i\in I} c_i h_i$ donde $\alpha^\vee = \sum_{i\in I} c_i \sigma_i^\vee$ y por último $[e_\alpha,e_\beta] = \pm (m+1) e_{\alpha+\beta}$ si $\alpha+\beta\in\Phi$ donde $m = \max\{p\in\mathbb{N}: \beta-p\alpha\in\Phi\}$ - para alguna elección de signos (Geck explica cómo se puede hacer canónico). Además, la simetría del grupo de Weyl se hace evidente por el hecho de que para cada $i\in I$ existe un automorfismo que toma $h_j$ a $h_j - (\sigma_i,\sigma_j^\vee)\, h_i$ y $e_\alpha$ a $\pm e_{s_i(\alpha)}$ (donde $s_i(\alpha)$ es $\alpha-(\alpha,\sigma_i^\vee)\, \sigma_i$ ) -de nuevo para alguna elección de signos-, y éstas generan una extensión del grupo de Weyl por un abeliano elemental $2$ -grupo.
En un nota relacionada el mismo autor proporciona una base y una construcción para $V_\lambda$ cuando $\lambda$ es minúscula, que es muy similar pero aún más simple.
Por lo tanto, esto sugiere la cuestión de qué se puede decir de la arbitrariedad $\lambda$ . Supongo que no se conoce nada tan canónico o explícito, pero tal vez si bajamos el listón a "bonito y algorítmicamente conveniente", se pueda decir algo (Ciertamente, los pesos múltiples son problemáticos; pero después de todo, las potencias tensoriales de las representaciones con una base "bonita" tienen ellas mismas una base "bonita", así que no toda la esperanza está perdida).
