Producto exterior de una forma diferencial y su derivada

Question

Dejemos que $\omega$ sea una forma k en una variedad suave $M$ tal que existe $f\in C^{\infty}(M)$ con $f(x)\ne 0$ para todos $x\in M$ y $d(f \cdot \omega)=0$ .

Necesito demostrar que $\omega \wedge d\omega =0$ .

Sólo he podido demostrar que $\omega \wedge d\omega =\frac{1}{f} \omega \wedge \omega \wedge df$ pero no sé cómo concluir.

Answer 1

EDITAR: esto sólo funciona cuando $k$ es impar. (Gracias a Ted Shifrin por señalarlo).

Usa la regla de Leibniz para expandir $d(f\omega)$ y luego cuña con $\omega$ . Por último, utilice el hecho de que $f$ no es cero en ninguna parte y que $d(f\omega)=0$ (En particular que $\omega \wedge d(f\omega) =0$ ).

EDITAR 2: Esto es falso en general: Tome $M=(0,\infty)$ , $f$ cualquier función suave no constante sobre $M$ y $\omega=1/f$ .