¿Ecuación característica de A ampliada a la forma polinómica?

Question

Mi libro define la ecuación característica de A y dice que se puede expandir a la "forma polinómica":

|I - A| = n + c _n-1 n-1 + ... + c ₁ + c ₀

¿Puede alguien explicarme cómo se ha obtenido este polinomio? ¿No tendría que incluir un montón de cofactores, o algo así? ¿Y por qué se eleva lambda a la enésima potencia? ¿Y de dónde salieron las constantes? Y a dónde fue a parar cualquier valor de A... Estoy confundido.

¿O es que mi libro sólo define el determinante para que sea igual a eso, y se supone que no entendemos de dónde lo han sacado?

Edición: ¿Podría alguien mostrarme un cálculo paso a paso de cómo lo ha conseguido, o algo así, para que pueda entenderlo realmente?

Answer 1

Sea como sea, el determinante de una matriz tiene, como mínimo un término, el producto de todos los elementos a lo largo de su diagonal. Esto significa que hay un producto de la forma $$\prod_{i=1}^n (\lambda - a_{ii})$$ en algún lugar del determinante, que puede expandirse como un polinomio de grado n en $\lambda$ . Por lo tanto, $\det(\lambda I - A)$ es en general un polinomio de grado n en $\lambda$ .

EDIT: para aclarar, no dan una fórmula para cada coeficiente, ya que sería lo mismo que hacer el cálculo. Pero el determinante será de ese formulario .