¿Cálculo del factorial para enteros no?

Question

Yo estaba jugando con los números en la calculadora y a mi amaze que pude ver que la calculadora calcula $(4.5)!$ o cualquier número real pero factorial se define para los números enteros como este hecho cualquier función avanzada. (Tenga en cuenta que soy estudiante de grado $11$)

Answer 1

En general, $~n!~=~\displaystyle\int_0^\infty\exp\Big(-\sqrt[n]x\Big)~dx,~$ $~n=\dfrac12~$ $~\Big(\tfrac12\Big)!~=~\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}~dx.~$ los rendimientos

Pero el valor de la integral gaussiana es conocido por ser $\sqrt\pi~,~$ lo que implica que el $~\Big(\tfrac12\Big)!~=~\dfrac{\sqrt\pi}2,~$

puesto que el integrando es incluso. Ahora todo lo que queda por hacer es emplear repetidamente la conocida

propiedad factorial $(n+1)!=(n+1)~n!~$ $~n+1=4+\dfrac12,~$ y el resultado sigue.

Answer 2

Hay una función llama a la función Gamma. Es similar a la del factorial como el factorial podría ser considerado como un caso especial de la función gamma.

$\Gamma(n) = (n-1)!$

o más bien, al cambiarlo por uno, como se muestra en la ecuación anterior.

La función gamma pasa a ser

$\Gamma(t) = \int_0^\infty x^{t-1} e^{-x} dx$

Calculadoras utilizan a menudo la función gamma para calcular factoriales de los no-valores naturales.

La generalización es útil cuando se necesita ampliar la definición de factorial más allá de los números naturales. Por ejemplo, en algunas distribuciones de probabilidad de uso de los factorial, y la función gamma puede ser utilizado para generalizar.

El factorial y la función gamma ambos tienen algunas propiedades interesantes en común.

Por ejemplo, la función factorial se puede definir de forma recursiva.

$0!=1$

$(n+1)! = (n+1) \times n!$

La función gamma también tiene esta propiedad

$\Gamma (1) = 1$

$\Gamma(x+1) = (x+1) \times \Gamma(x) $

Answer 3

Es posible que la calculadora le dio el valor de $\Gamma(5.5)$.

La función de $\Gamma$ es una especie de generalización de factorial en el sentido que tiene cada $n\in\mathbb N$, que $\Gamma(n) = (n-1)!$. Así que si alguna vez desea calcular $m!$, que es igual a calcular $\Gamma(m+1)$.

Answer 4

La función Gamma trabaja para todos los números reales. Da el factorial de n-1 para enteros y una continuación analítica, es decir. Gráfico de lisa para entre entradas.

Hay una introducción fácil aquí:http://www.sosmath.com/calculus/improper/gamma/gamma.html

Answer 5

Junto con la función gamma, es mucho más fácil de aproximar con buena precisión mediante aproximación de Stirling.

Se define como:

$$n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac ne\right)^n$$