¿Podemos comprobar si el límite existe utilizando $\epsilon$ - $\delta$ método.

Question

Podemos demostrar que el límite existe utilizando $\epsilon$ - $\delta$ método. Pero, ¿podemos concluir la existencia de un límite utilizando este método? Como he visto otras preguntas en las que el límite no existe, me parece que podemos formar una relación entre $\epsilon$ & $\delta$ utilizando desigualdades. En este momento estoy muy confundido. Se agradecerá alguna ayuda. Por ejemplo, no puedo demostrar que el límite no existe para $\frac{x^2y^2}{x^4+y^4}$ utilizando $\epsilon$ - $\delta$ método.

Gracias

Answer 1

Decimos que el límite de $f(x, y)$ en un punto $(a,b)$ existe si y sólo si hay $c \in \mathbb R$ tal que para todo $\varepsilon > 0$ hay $\delta_\epsilon > 0$ con $$\|(x, y) - (a, b)\|_2 \le \delta_\epsilon \Rightarrow |f(x, y) - c|\le \varepsilon.$$ En este caso escribimos $\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) = c$ .

Ahora demostraré que no hay $c \in \mathbb R$ que satisface la fórmula anterior para $(a, b) = (0, 0)$ y $f(x, y) = x^2y^2/x^4 + y^4$ . Lo hacemos por contradicción suponiendo que existe $c \in \mathbb R$ con $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = c$ (suponemos que $c > 0$ , los demás casos se pueden hacer con el mismo argumento).

Arreglemos $\varepsilon > 0$ y el asociado $\delta_\epsilon > 0$ . Deberíamos tener eso para todos $(x, y)$ más pequeño que $\delta_\epsilon$ , $|f(x, y) - c|$ es menor que $\varepsilon$ o, en otras palabras, $c - \varepsilon \le f(x, y) \le c + \varepsilon$ . Sin embargo, si usted toma $$(x, y) = (\min\{\delta_\epsilon, 1/\sqrt{c + \varepsilon}\}, 0),$$ se encuentra que $\|(x, y)\|_2 = \sqrt{x^2 + y^2} = \min\{\delta_\epsilon, 1/\sqrt{c + \varepsilon}\} \le \delta_\varepsilon$ y $$f(x, y) = \frac{x^2y^2}{x^4 + y^4} = \frac{1}{\min\{\delta_\epsilon, 1/\sqrt{c + \varepsilon}\}^2} > c + \varepsilon$$ lo que contradice nuestra suposición. Por lo tanto, $f(x, y)$ diverge.

Answer 2

Si $\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac {x^2y^2}{x^4 + y^4}$ existiría una $L$ de modo que para cualquier $\epsilon > 0$ podríamos encontrar un $\delta_\epsilon$ para que siempre que $0 < d((x,y),(0,0)) < \delta$ debemos tener $|\frac {x^2y^2}{x^4+y^4} - L| < \epsilon$ .

Si esto es así, entonces para cualquier dos $(x_0,y_0),(x_1,y_1)$ donde $0 < d((x_0,y_0),(0,0)) < \delta$ y $0 < d((x_1,y_1),(0,0)) < \delta$ debemos tener $|\frac {x_0^2y_0^2}{x_0^4+y_0^4} -\frac {x_1^2y_1^2}{x_1^4+y_1^4}| \le d|\frac {x_0^2y_0^2}{x_0^4+y_0^4}-0| + |\frac {x_1^2y_1^2}{x_1^4+y_1^4}-0| < 2\epsilon$ .

Así que Contrpositivamente, si podemos mostrar para cualquier $\delta > 0$ siempre habrá $(x_0,y_0),(x_1,y_1)$ donde $|\frac {x_0^2y_0^2}{x_0^4+y_0^4} -\frac {x_1^2y_1^2}{x_1^4+y_1^4}| \ge C$ para alguna constante positiva que demostrará que no puede existir ningún límite. (Porque contradice el párrafo anterior).

Así que para cualquier $\delta > 0$ tenemos $(0,\frac 12\delta)$ está dentro de $\delta$ de $(0,0)$ . Y $\frac {0^2\cdot (\frac 12\delta)^2}{0^4 + (\frac 12\delta)^4}=0$ .

Pero $(\frac 12 \delta, \frac 12\delta)$ también está dentro de $\delta$ de $(0,0)$ . Y $\frac {(\frac 12\delta)^2\cdot (\frac 12\delta)^2}{(\frac 12\delta)^4+ (\frac 12\delta)^4}= \frac {\frac 1{16}\delta^4}{\frac 18\delta^4} = \frac 12$ .

Así que $|\frac {0^2\cdot (\frac 12\delta)^2}{0^4 + (\frac 12\delta)^4}-\frac {(\frac 12\delta)^2\cdot (\frac 12\delta)^2}{(\frac 12\delta)^4+ (\frac 12\delta)^4}|=\frac 12$ que es una constante positiva.

Así que para cualquier $\frac 14 > \epsilon > 0$ nosotros no puede encontrar cualquier $\delta$ que hace lo que queremos para cualquier $L$ .

Así que no existe ningún límite.