Variables aleatorias perfectamente correlacionadas (normales)

Question

No estoy seguro de la terminología, así que simplemente intentaré explicar la situación que me gustaría modelar tal y como la veo. Supongamos que existe un conjunto de variables aleatorias. Las variables están correlacionadas de tal manera que se desvían de sus valores esperados en la misma dirección todas juntas. Con esto quiero decir que pueden ser todas juntas mayores que su expectativa o todas juntas menores. ¿Es posible modelar esta dependencia con una variable aleatoria normal multivariante? $\mathbf{X} \sim \mathcal{N}(\mathbf{\mu}, \mathbf{\Sigma})$ asumiendo el conocimiento de las distribuciones marginales de los componentes $\mathbf{X}_i \sim \mathcal{N}(\mu_i, \sigma^2_i)$ ? Cómo construir $\mathbf{\Sigma}$ ¿es esta situación? Gracias.

Mis mejores deseos, Ivan

Answer 1

Considere este sencillo fragmento:

    m1 <- 0
    m2 <- 0
    cov <- 0.8
    x1 <- rnorm(100, mean=m1)
    x2 <- cov*x1 + rnorm(100,mean=m2-cov*m1,sd=sqrt(1-cov*cov))
    plot(x1,x2)
    x2a <- x2*sign(x1-m1)*sign(x2-m2)
    plot(x1,x2a)

Se pliega la distribución de x2 alrededor de su media, alineando sus desviaciones de la media con las de x1 de su media. Por supuesto, la distribución resultante no puede caracterizarse como una normal multivariante, aunque cada margen sea normal:

    plot( density(x1), ylim=c(0,0.5) )
    hist( x1, add=T, prob=T )

Contornos de la densidad de (x1, x2a): la probabilidad que normalmente se asociaría a los valores de los cuadrantes II o IV se ha desplazado simétricamente a los cuadrantes I y III, dejando las distribuciones marginales inalteradas.

Este es un (contra)ejemplo clásico de una distribución que tiene márgenes normales, pero que no es una normal multivariante; francamente, no sé cómo construir ninguna otra.

La transformación aumenta un poco la correlación:

    > cor(x1,x2)
    [1] 0.7999774
    > cor(x1,x2a)
    [1] 0.8575814

Habría visto un efecto mucho más fuerte con una menor cov Por supuesto, puede empezar con cov=0 y aún así obtener la correlación de las variables resultantes por encima de 0,6.