He recreado el diagrama utilizando Adobe Illustrator.
El polígono rosa es un octógono regular y el gris es un pentágono regular.
Llevo un tiempo intentando solucionar esto pero no consigo nada. Parece que todo lo que hago es crear más ángulos aleatorios que no contribuyen a la solución. He intentado extender las líneas pero eso no parece ayudarme en absoluto.
La mayoría de los otros problemas que me han dado son relativamente fáciles.
Suponiendo que los lados comunes son la unidad y fijando el origen en el vértice inferior izquierdo, el ángulo $x$ se determina por su vértice en $(0,1+\sqrt2)$ y los puntos $(1/\sqrt2,1+1/\sqrt2)$ y $(\cos2\pi/5,\sin2\pi/5)$ .
La tangente de $x$ viene dada por el cociente del producto cruzado de los dos tramos sobre su producto punto.
$$x=\arctan\frac{\frac1{\sqrt2}\left(\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}4-1-\sqrt2\right)+\frac1{\sqrt2}\frac{\sqrt5-1}4}{\frac1{\sqrt2}\frac{\sqrt5-1}4-\frac1{\sqrt2}\left(\frac{\sqrt{10+2\sqrt5}}4-1-\sqrt2\right)}.$$
Este problema no se puede resolver: los ángulos interiores de un pentágono regular son $108°$ . Dibuja una línea recta que una los puntos derechos de las aristas superior e inferior del octógono regular. Esto da un triángulo. El ángulo inferior es $108° - 90° = 18°$ . La esquina formada por el ángulo interior del pentágono regular y el $67°$ forma un total de $108° + 67° = 175°$ y las esquinas de un triángulo sólo tienen una suma total de $180°$ ... (es decir, el problema no está bien escrito).
Dejemos que $y$ sea el ángulo dado (supuestamente $67$ aunque en realidad no puede serlo).
El ángulo del vértice de un pentágono regular es $180-360/5 = 108$ .
El ángulo del vértice de un octógono regular es $180-360/8 = 135$ .
El pentágono rosa irregular de la derecha tiene entonces cinco ángulos que van en el sentido de las agujas del reloj desde la parte superior:
$x$ , $135$ , $135$ , $135-108$ , $360-108-y$ .
La suma de los ángulos de un pentágono es $(5-2)*180 = 540$ . Por lo tanto, obtenemos que $x+135+135+135-108+360-108-y = 540$ o $x=y-9$ .
Si $y$ realmente tenían 67 años, entonces $x$ sería de hecho $58$ pero esas cifras no se ajustan a la realidad del sorteo. Esos ángulos podrían ser correctos si el pentágono regular tuviera una longitud de arista menor, pero siguiera compartiendo su vértice inferior derecho con el octógono.
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