Incrustación del espacio sobolev ponderado con pesos exponenciales

Question

En el libro de Bensoussan y los Leones introducen los espacios ponderados con pesos exponencialmente decrecientes para estudiar las ecuaciones elípticas con coeficientes acotados en todo el espacio $\mathbb{R}^n$ . Mencionaron que existen resultados de regularidad clásicos basados en estos espacios.

Por ejemplo, para cada $p\in [1,\infty)$ el peso de la $L^p_\mu(\mathbb{R}^d)$ espacio en $\mathbb{R}^d$ se define como el conjunto de funciones medibles de Lebesgue tales que $f\omega_\mu(x)\in L^p(\mathbb{R}^n)$ es decir, $$\|f\|_{L^p_\mu}=\int_{\mathbb{R}^d}|f|^p\omega^p_\mu(x)\,dx< \infty,$$ donde $\omega_\mu(x)=\exp(-\mu\sqrt{1+|x|^2})$ para $\mu>0$ y el espacio de sobolev ponderado $W^{1,p}_\mu(\mathbb{R}^d)$ se define como el espacio de funciones tales que $u\omega_\mu\in L^p(\mathbb{R}^n)$ y $\partial_{x_i} u\omega_\mu\in L^p(\mathbb{R}^n)$ , donde $\partial_{x_i}$ denota la derivada débil en el sentido de la distribución. Del mismo modo, definimos el espacio de sobolev de alto orden $W^{2,p}_\mu(\mathbb{R}^d)$ tal que $\partial_{x_ix_j}u\omega_\mu\in L^p$ para todos $i,j$ .

Estoy interesado en una referencia sobre las propiedades de incrustación entre espacios de diferentes órdenes. Por ejemplo, en el libro se señala (sin prueba) que la inyección $$ W^{2,p}_\mu\hookrightarrow W^{1,p}_\nu \tag{1}$$ con $\nu>\mu$ es compacto. ¿Podría resumir brevemente o proporcionar una referencia de una prueba de esta afirmación? ¿Se deduce de los resultados para el espacio clásico de Sobolev?

---

Nótese que el Corolario 3.3 en El documento de Hooton implica la inyección $W^{2,p}_\mu\hookrightarrow W^{1,p}_\mu \tag{2}$ no es compacto.

Answer 1

Ampliando mi comentario, dejemos $u_i\in W^{2,p}_\mu(\mathbb{R}^d)$ sea una secuencia acotada, es decir $$ |u_i|_{W^{2,p}_\mu(\mathbb{R}^d)}\leq C $$ y considera las bolas $B_k(0)$ , $k\in\mathbb{N}$ . Sea $W^{2,p}(B_k(0))$ sea el espacio de Sobolev habitual. Es fácil ver que $$ |u_i|_{W^{2,p}({B_k(0)})}\leq C\exp(\mu\sqrt{1+k^2})=:C_k. $$ Por el Teorema de Rellich-Kochandrov podemos encontrar una subsecuencia (de nuevo etiquetada $u_i$ ) tal que $u_i\to v_1$ en $W^{1,p}(B_1(0))$ y puntualmente en casi todas partes. Podemos entonces elegir otra subsecuencia tal que $u_i\to v_2$ a $W^{1,p}(B_2(0))$ . Por convergencia puntual se deduce que $v_1=v_2$ casi en todas partes en $B_1(0)$ . Continuando este procedimiento y tomando una subsecuencia diagonal encontramos una función bien definida $v$ definido por $v(x)=v_k(x)$ donde $k$ se elige de forma que $x\in B_k(0)$ tal que $u_i\to v$ en $W^{1,p}(B_k(0))$ por cada $k\in\mathbb{N}$ y puntualmente en casi todas partes. También podemos suponer que todas las derivadas parciales convergen puntualmente en casi todas partes. Por la convergencia puntual y el lema de Fatou se deduce que $v\in W^{1,p}_\mu(\mathbb{R}^d)$ . Ahora dejemos que $\nu>\mu$ y $\epsilon>0$ . Como $v\in W^{1,p}_\mu(\mathbb{R}^d)$ podemos elegir $K\in\mathbb {N}$ tal que $$ \bigg(\int_{\mathbb{R}^d\setminus B_K(0)}\omega_\nu^p(|v|^p+|\nabla v|^p)\bigg)^{1/p}\leq \bigg(\int_{\mathbb{R}^d\setminus B_K(0)}\omega_\mu^p(|v|^p+|\nabla v|^p)\bigg)^{1/p}\leq \frac{\epsilon}{3}. $$ Por otro lado, $$ \bigg(\int_{\mathbb{R}^d\setminus B_K(0)}\omega_\nu^p(|u_i|^p+|\nabla u_i|^p)\bigg)^{1/p}\leq \exp((\nu-\mu)\sqrt{1+K^2})\bigg(\int_{\mathbb{R}^d\setminus B_K(0)}\omega_\mu^p(|u_i|^p+|\nabla u_i|^p)\bigg)^{1/p}\leq \frac{\epsilon}{3}, $$ proporcionado $K$ es lo suficientemente grande como para que $\exp((\nu-\mu)\sqrt{1+K^2})C\leq \frac{\epsilon}{3}$ (aquí utilizamos $\nu>\mu$ ). Por último, como $u_i\to v$ en $W^{1,p}(B_K(0))$ se deduce que $$ \bigg(\int_{B_K(0)} |u_i-v|^p+|\nabla u_i-\nabla v|^p\bigg)\leq \frac{\epsilon}{3} $$ para todos $i\geq I$ , donde $I$ depende de $\epsilon$ y $K$ . En consecuencia, $$ |u_i-v|_{W_\nu^{1,p}(\mathbb{R}^d}\leq 3\frac{\epsilon}{3}=\epsilon. $$