Una prueba sobre las aproximaciones en L1

Question

Me estoy confundiendo con el siguiente ejercicio:

Supongamos que $f_{k}\in L^1[-\pi,\pi]$ y $f\in L^1[-\pi,\pi]$ son tales que $f_k \to f$ cuando $k\to \infty $ .

Demostrar que $\hat{f_k} \to \hat{f}$ de manera uniforme, donde $\hat{f_k}$ y $\hat{f}$ son los coeficientes de Fourier de $f_k$ y $f$ respectivamente.

Mi intento fue:

Para un $\varepsilon>0$ sabemos que $\exists N \in \mathbb{N}$ tal que $|f_k(\theta)-f(\theta)|<\varepsilon$ por cada $k>N$ y $\theta\in[-\pi,\pi]$ . Entonces, fíjate en lo siguiente:

$\hat{f_k}-\hat{f}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f_k(\theta) e^{-in\theta}dx-\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(\theta) e^{-in\theta}dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} [f_k(\theta)-f(\theta)] e^{-in\theta}dx\frac{1}{2\pi}\leq\frac{1}{2\pi}|\int_{-\pi}^{\pi} [f_k(\theta)-f(\theta)] e^{-in\theta}dx|\leq\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f_k(\theta)-f(\theta)| e^{-in\theta}dx\leq\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \varepsilon e^{-in\theta}dx=\frac{\varepsilon}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} e^{-in\theta}dx$

Mi problema es que la integral final es igual a $\frac{2sin(n\pi)}{n}=0$ desde $n\in\mathbb{N}$ Y eso no me gusta. ¿Ves algún error? o ¿Puedes ver otra manera de probar esto?

Se agradece cualquier ayuda, gracias.

Answer 1

Sus desigualdades no tienen sentido. El argumento es bastante simple: $|\int f_n(t)e^{-int} dt-\int f(t)e^{-int}dt|\leq \int |f_k(t)-f (t)||e^{-int}|dt \to 0$ desde $|e^{-int}|=1$ para todos $t$ y $n$ .

[No lo hizo en qué sentido $f_k \to f$ . Estoy asumiendo que $\int |f_n-f| \to 0$ ].