Existencia de límite de $f(x)=\frac{x_1}{\Vert x\Vert_2}$ en ${0 \choose 0}$

Question

Nos dan la función:

$f: M\subset\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ , donde $f(x)=\frac{x_1}{\Vert x\Vert_2}$ y $M:=\{x={x_1 \choose x_2}\in\mathbb{R}^2~:~x_1>\sqrt{|x_2|}\}$ .

Demuestre que el límite en ${0 \choose 0}$ existe.

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Ya me he dado cuenta de que el límite debe ser $1$ .

Como el dominio está restringido a puntos específicos, no pude utilizar correctamente las secuencias cero para demostrar la existencia del límite. Así que traté de aplicar el $\epsilon$ - $\delta$ -criterio de límites. Sin embargo, no pude encontrar un límite superior para $\left|\frac{x_1}{\Vert x\Vert_2}-1\right|$ tal que para todo $x \in M$ con $\Vert x - 0\Vert <\delta$ nos encontramos con que: $\left|\frac{x_1}{\Vert x\Vert_2}-1\right|\leq....<\epsilon$ . Al principio era optimista para obtener tal límite superior si incorporaba la condición de $M$ pero no me llevó a ninguna parte...

Quizá haya algún truco secreto...

Como se trata de una tarea para casa te agradecería que sólo me dieras una pequeña pista y no la solución completa a no ser que la ocultes.

Answer 1

Nota $x_1>0$ y $x_2^2<x_1^4$ . Así que \begin{eqnarray} |f(x)-1|&=&\bigg|\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}-1\bigg|\\ &=&\bigg|\frac{\sqrt{x_1^2+x_2^2}-x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}\bigg|\\ &=&\bigg|\frac{x_2^2}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}(\sqrt{x_1^2+x_2^2}+x_1)}\bigg|\\ &<&\bigg|\frac{x_1^4}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}(\sqrt{x_1^2+x_2^2}+x_1)}\bigg|\\ &<x_1^2. \end{eqnarray} Ahora es fácil utilizar el $\epsilon$ - $\delta$ definición.

Answer 2

Escribe $f(x)=1/\sqrt {1+g(x)}$ y examinar $g(x)=x_2\cdot \frac {x_2}{(x_1)^2}.$