Me preguntaba cuál es el campo eléctrico en un punto que está muy lejos de una lámina rectangular y que además está por encima del centro del rectángulo. Así que desde una perspectiva matemática se obtiene Campo eléctrico debido a una hoja rectangular finita de carga en la superficie $$ S = \left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid -a/2< x < +a/2; -b/2< y < +b/2 ; z = 0 \right\} .$$ es $$ E(0,0,r) = \frac{\sigma r}{4\pi\epsilon_o} \int_{x=-a/2}^{x=+a/2}\int_{y=-b/2}^{y=+b/2} \frac{dx dy}{(x^2+y^2+r^2)^{3/2}} $$ así que $$E(0,0,r) = \frac{\sigma}{\pi \epsilon_0} \arctan\left( \frac{ab}{4r\sqrt{(a/2)^2+(b/2)^2+r^2}} \right)$$ . Parece muy contra intuitivo que para $r>>a$ y $r>>b$ el campo eléctrico es $$E(0,0,r) = \frac{\sigma}{\pi \epsilon_0} \arctan\left( \frac{ab}{4r^2} \right)$$ y no $E(0,0,r) =k_e\frac{q}{r^2}$ donde $q=\sigma ab$ . Mi pregunta es si no debería comportarse como una carga puntual si está muy lejos del punto donde estoy calculando el campo eléctrico. ¿Por qué no es así? ¿Qué estoy haciendo mal?
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$\arctan(\theta)\approx \theta-\frac{\theta^3}{3}$ cerca de $\theta=0$ así que \begin{align} \frac{\sigma}{\pi\epsilon}\arctan\left(\frac{ab}{4r^2}\right) \approx \frac{\sigma}{\pi\epsilon}\frac{ab}{4r^2}\tag{1} \end{align} y como $a\times b$ es el área, $\sigma\times a\times b=Q$ , la carga en su plato. A este nivel de aproximación se obtiene entonces \begin{align} E_z(0,0,r)\approx \frac{Q}{4\pi\epsilon r^2} \end{align} que es el campo de una carga puntual.
El plazo adicional $\theta^3/3$ que no incluí en (1), da la corrección principal debido al tamaño finito de la placa. Es negativa porque, en $Q/4\pi\epsilon r^2$ En este caso, se concentra toda la carga en un solo punto, mientras que el campo real será un poco menor, ya que la carga se diluye en toda el área y, por lo tanto, parte de la carga se encuentra a una distancia ligeramente mayor de $(0,0,r)$ que el centro de la placa, lo que resulta en una contribución ligeramente menor que si estuviera en el origen.
