Condiciones iniciales de la ecuación hipergeométrica

Question

Normalmente, cuando se trata de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden del tipo $$a y''(x)+by'(x)+cy(x)=0$$ La solución viene dada por: $$Ae^{mx}+Be^{nx} \quad \text{or} \quad e^{mx}(A+Bx) \quad \text{or} \quad Ae^{px}\cos(qx)+Be^{px}\sin(qx) $$ dependiendo de si las raíces de la ecuación característica son reales y distintas, reales e iguales o complejas. Los coeficientes $A$ y $B$ se puede encontrar fácilmente haciendo coincidir las condiciones iniciales en $y$ y $y'$ .

Sin embargo, con una ecuación hipergeométrica del tipo $$xy''(x)+(b-x)y'(x)+ay(x)=0$$ La solución viene dada por la función hipergeométrica: $$y(x)={}_{1}F_1(a,b,x)$$ ¿Y las condiciones iniciales de la ecuación? ¿Cómo podemos hacerlas coincidir?

(¿Tienes algún artículo de referencia para profundizar en este tipo de ecuaciones?)

Además, ¿cuáles son los derivados de ${}_{1}F_1(a,b,x)$ con respecto a $x$ ?

Answer 1

La ecuación que tienes se conoce como ecuación hipergeométrica confluente. La solución general es $$y(z)=cM(a, b, z)+c'U(a, b, z)$$ Dado $$y(0)=A$$ y $$y'(0)=B$$ aplicando la primera condición tienes $$cM(a, b, z)+c'U(a, b, 0)=A$$ Para la segunda condición se utiliza el hecho de que $$\frac{d}{dz}M(a, b, z)=\frac{a}{b}M(a+1, b+1, z)$$ y $$\frac{d}{dz}U(a, b, z)=-aU(a+1, b+1, z)$$ Así que, $$c\frac{a}{b}M(a+1, b+1, 0)-ac'U(a+1, b+1, 0)=B$$ Entonces resuelve para $c$ y $c'$ . Así de simple. ¡Mira el libro de Abramovitz sobre las funciones especiales, es un clásico de todos los tiempos! ¡O en cualquier libro de texto con el nombre como funciones especiales de la física matemática!

Answer 2

La ecuación que planteas como ecuación hipergeométrica es más bien la ecuación de Kummer y sus soluciones son funciones de Kummer o confluente funciones hipergeométricas. Las funciones hipergeométricas tienen un $c$ parámetro $F(a,b;c;z)$

Puede comprobar este referencia para una descripción de las propiedades de la ecuación diferencial, las funciones de Kummer y las derivadas.