Eigenvector de media partícula de espín en campo magnético aplicado en ángulo

Question

Soy muy nuevo en este campo de la física, así que perdón si esto es básico. Recientemente estaba tratando de entender cómo se calculan las divisiones de energía de los electrones en campos aplicados. Entiendo que dado un campo magnético es a lo largo del eje z la onda los eigenvectores [0,5;0] y [0;0,5] todavía se mantienen para el espín hacia arriba, espín hacia abajo, y de eso puedo calcular fácilmente los valores propios y por lo tanto los niveles de energía de los dos estados.

Sin embargo, donde estoy atascado es cuando introduzco otra componente del campo magnético para que mi Hamiltoniano sea entonces proporcional a BzIz+BxIx. Antes, cuando el campo sólo se aplicaba a lo largo de un eje, era simplemente proporcional a BzIz. La razón por la que esto me confunde es que ahora los estados [0,5;0] y [0;0,5] ya no son estados propios. En su lugar, los estados propios son de la forma A[0,5;0]+B[0,;0,5], donde A y B son constantes que dependen de Bz y Bx.

¿Creía que una función de onda como ésta era una superposición de dos estados? Esto debe ser erróneo ya que una función de onda no debería colapsar en una superposición... Pero también creía que las funciones de onda siempre colapsan en un estado propio del operador utilizado... Puedo decir que estoy confundido, disculpas si esto es básico...

Answer 1

Si tiene un campo magnético externo de fuerza $B$ en la dirección $(n_x,n_y,n_z)$ entonces el Hamiltoniano tiene un término proporcional a $$B_x\hat\sigma_x+B_y\hat\sigma_y+B_z\hat\sigma_z.$$

Y pongo los sombreros en los operadores para que sepas que son operadores en un espacio de Hilbert en lugar de matrices. De hecho, usted podría elegir una base para su espacio de Hilbert que resulta ser eigenvectores de $\hat\sigma_z$ y entonces todos los vectores del espacio de Hilbert son sólo vectores columna de números complejos.

Y entonces puedes utilizar la representación matricial $$B_x\sigma_x+B_y\sigma_y+B_z\sigma_z.$$

Y los estados propios de energía pueden tener ahora partes que son propias de estos operadores/matrices. Pero la base que elijas para escribir algo es tan arbitraria como el eje de coordenadas.

Así que, en general, la base natural es en términos de los vectores propios del hamiltoniano real, pero se puede utilizar cualquier base. Y si eliges la base equivocada, tus estados pueden parecer más complicados, pero no son diferentes.

Es como si alguien se moviera en una línea a velocidad constante. Podrías elegir el eje x para apuntar en esa dirección, y el movimiento se vería simple, por ejemplo $\vec r(t)=vt\hat i+0\hat j$ pero también se puede elegir un sistema de coordenadas en el que se vea como $\vec r(t)=\frac{\sqrt 2}{2}vt\hat i'\frac{\sqrt 2}{2}vt\hat j'.$ Y no me refiero a una analogía. Me refiero a que literalmente estás eligiendo una base.

Lo que puede ser confuso es que hay una base para el espacio físico y una base para su espacio de Hilbert y están relacionados pero son diferentes. Cuando escribes algo como un montón de escalares en un orden determinado, has elegido una base. La base puede hacer que tus matemáticas parezcan desordenadas o simples, pero no cambia la física.

Así que realmente tienes un campo magnético, realmente hay un operador $$B_x\hat\sigma_x+B_y\hat\sigma_y+B_z\hat\sigma_z.$$ Y es un operador hermitiano y tiene vectores propios y escribirlo en términos de esa base (la base de los vectores propios) puede hacer que sus ecuaciones se vean más bonitas como $ \vec r(t)=vt\hat i+0\hat j$ parecía más bonito que $\vec r(t)=\frac{\sqrt 2}{2}vt\hat i'\frac{\sqrt 2}{2}vt\hat j'.$ Pero la física no es diferente.

¿Creía que una función de onda como ésta era una superposición de dos estados?

La palabra superposición no es más que la palabra combinación lineal. Cualquier vector es una superposición de otros vectores. No tiene ningún significado físico. Sólo significa que su base no incluye el vector en cuestión.

Cuando alguien hace un escándalo sobre una superposición, en realidad está tratando de hacer un escándalo sobre que es una superposición de un conjunto particular de vectores base.