De lo que se escribe es más o menos cierto. Primero se nota que no es suficiente para suponer que el $f(x,t)$ es diferenciable en a $x_0$ (para (casi) todos los $t$), tenemos que hay un neighorhood $(x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon) =:I$ tal que $f(\cdot, t)$ es diferenciable en a $x$ todos los $x \in I$, y (casi) todos los $t \in A$, donde el "excepcional null conjunto" debe no dependen $x$.
La suposición $|\partial f/\partial x (x,t)| \leq g(x)$ sólo tiene sentido en esta configuración, de lo contrario sólo podría exigir $x_0$ en lugar de $x$ y la prueba también las necesidades de este supuesto (ver más abajo).
Ahora, vamos a $h_n \to 0$ $h_n \neq 0$ todos los $n$ y w.l.o.g. con $x_0 + h_n \in I$ todos los $n$. Vamos
$$
F(x) := \int_A f(x,t) \, dt \text{ para } x \in I,\\
G(x) := \int_A \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) \, dt \text{ para } x \in I.
$$
Aquí, la integral de la definición de $F$ se interpreta como impropia de Riemann integral (es posible que esta integral no existe como una integral de Lebesgue), pero la integral de la definición de $G$ se interpreta como una integral de Lebesgue. Si $t \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}$ es Riemann integrable sobre cada compacto subinterval de $A$ (por ejemplo, si es continua en a $t$), a continuación, también puede ser interpretado como impropia de Riemann integral, al menos si hemos de suponer que el que domina la función $g$ (impropias de Riemann integrable.
Observar que los supuestos garantía de que $F,G$ están bien definidos. Medición de la $t \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ por cada $x \in I$ está implícita en la pointwise convergencia $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,t) = \lim_n \frac{f(x+h_n, t) - f(x,t)}{h_n},
$$
que va a ser empleado también por debajo.
Ahora tenemos
\begin{eqnarray*}
\left|\frac{F\left(x_{0}+h_{n}\right)-F\left(x_{0}\right)}{h_{n}}-G\left(x_{0}\right)\right| & = & \left|\int_{A}\frac{f\left(x_{0}+h_{n},t\right)-f\left(x_{0},t\right)}{h_{n}}-\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0},t\right)\,{\rm d}t\right|\\
& \leq & \int_{A}\left|\frac{f\left(x_{0}+h_{n},t\right)-f\left(x_{0},t\right)}{h_{n}}-\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0},t\right)\right|\,{\rm d}t.
\end{eqnarray*}
Tenga en cuenta que el integrands son medibles y que para (casi) todos los $t \in A$, el valor medio teorema de los rendimientos de algunos $\xi_{n,t} \in I$ (incluso entre los $x_0$$x_0 +h_n$) tales que
$$
\left|\frac{f\left(x_{0}+h_{n},t\right)-f\left(x_{0},t\right)}{h_{n}}\right|=\left|\frac{\partial f}{\partial x}\left(\xi_{n,t},t\right)\right|\leq g\left(t\right).
$$
Esto muestra que el integrands en las integrales son Lebesgue integrable y dominado por una función integrable. Como el integrando en la última integral converge pointwise a$0$$n \to \infty$, el teorema de convergencia dominada de los rendimientos
$$
\left|\frac{F\left(x_{0}+h_{n}\right)-F\left(x_{0}\right)}{h_{n}}-G\left(x_{0}\right)\right| \a 0,
$$
de modo que $F$ es diferenciable (en $x_0$) con la espera de la derivada.
