¿Existen construcciones rigurosas de la integral de trayectoria para la QFT de celosía en una celosía infinita?

Question

La QFT en una red finita* es un objeto matemático completamente bien definido. Esto se debe a que la integral de trayectoria es una integral ordinaria de dimensión finita. Sin embargo, si la red es infinita, la definición matemática de la integral de trayectoria ya no es obvia. Intuitivamente, sigo esperando que la construcción de esta integral de trayectoria sea mucho más fácil que la construcción de integrales de trayectoria para la QFT del continuo. Esto se debe a que en la red tenemos un corte UV explícito y, en particular, los parámetros desnudos de la acción son finitos, por lo que la acción es una función honesta en el espacio de campo.

Naturalmente, me interesan las teorías interactivas (por ejemplo, Yang-Mills en celosía), ya que las teorías libres conducen a integrales gaussianas que son relativamente fáciles de definir incluso en el caso de dimensión infinita.

*Suelen utilizarse condiciones de contorno periódicas para que la red finita sea un producto de grupos finitos cíclicos

Answer 1

Existen construcciones rigurosas de QFT en volumen infinito. El libro de Glimm & Jaffe lo hace para escalares 2d que interactúan (con la suposición de que las interacciones no son demasiado fuertes). Estoy seguro de que puedes encontrar otros ejemplos en la literatura (o quizás alguien más te los indique).

Sin embargo, limitarse a una celosía no le aporta mucho. Por un lado, si la acción de la red que utilizas es aproximadamente local y una buena aproximación a la verdadera acción efectiva, probablemente no estés muy lejos del límite del continuo.

Una de las pequeñas sorpresas de la QFT constructiva, al menos si te han educado en Peskin y Schroder, es que la eliminación de los límites IR es un problema considerablemente más difícil que la eliminación de los límites UV. Por un lado, normalmente no se puede tomar simplemente un límite de las medidas de volumen finito. En su lugar, hay que encontrar alguna colección de observables cuyos valores de expectativa permanezcan bien definidos en el límite IR, y luego utilizar algo como el Teorema de Minlos para inferir la existencia de una medida. Encontrar los observables adecuados no es fácil. Hay que demostrar que los valores de expectativa obedecen a alguna forma de descomposición en racimos, de modo que se puedan ignorar con seguridad las cosas que ocurren a gran distancia. Esto es algo difícil sólo en la teoría de campos escalares masivos 2d, donde las funciones de correlación de los observables básicos decaen exponencialmente. (Glimm y Jaffe sólo tardan unas pocas páginas en mostrar la existencia de un límite continuo de volumen finito, pero les lleva unos cuantos capítulos mostrar que existe el límite de volumen infinito). Es aún más difícil si tus correladores sólo decaen como polinomios. Y en teorías como la de Yang-Mills o escalares 2d sin masa, donde las funciones de correlación de los observables básicos pueden realmente crecer con la distancia, puede llegar a ser monstruosamente duro. Hay que encontrar los observables adecuados -por ejemplo, campos exponenciados en el caso escalar 2d- y demostrar que las divergencias se cancelan. (El Premio del Milenio para la teoría de Yang-Mills equivale realmente a resolver el problema IR. Se cree que el problema UV en volumen finito es básicamente manejable).

Answer 2

Construir la teoría de la red de volúmenes infinitos no suele ser tan difícil. Se suelen utilizar las llamadas desigualdades de Griffiths. Véase este artículo por Sokal (p. 327), así como este artículo por Guerra, Rosen y Simon (Sección V). En el caso de Yang-Mills en una red, el límite de volumen infinito es más difícil. Sin embargo, se ha hecho de forma rigurosa a gran acoplamiento, véase este artículo por Osterwalder y Seiler. Debo añadir que los resultados que he mencionado son para cualquier número de dimensiones $d\ge 2$ . Esto se debe a que sólo se está hablando del límite de volumen infinito en una red fija. Hay que preocuparse por la dimensión cuando se quiere llevar también la malla de la red a cero.

Uno de los libros más completos sobre el límite de volumen infinito de la red desde un punto de vista matemáticamente riguroso es "Gibbs Measures and Phase Transitions", 2ª edición, de H.-O. Georgii. Véanse, en particular, las notas de las secciones 4.3 y 4.4 en la página 458, en las que se analizan diversas técnicas que se pueden utilizar para los sistemas de espín no limitados.