¿Cómo puedo demostrar que $\inf\limits_{u\in X} I(u)=0 $

Question

Por favor, deje sólo las pistas y no la solución completa en la parte inferior.

Problema Considere el siguiente espacio $X = \{u \in C^1([1, 1]): u(1) = 0; u(1) = 1 \},$ y el funcional $ I : X \to [0,1) $ definidos de la siguiente manera: $$ I(u) :=\int_{-1}^{1}(u'(x))^2(1 u'(x))^2dx ; $$ demostrar que $\inf\limits_{u\in X} I(u)=0 $ y que tal que $ \inf $ no se alcanza dentro de $X.$

Answer 1

La idea principal es que la contribución a $I$ es pequeño siempre que $u'$ está cerca de $0$ o $1$ . La pendiente media de $u$ se ve obligado a ser $1/2$ por las condiciones de contorno. Así que una función que tiene derivada $1$ en la mitad del intervalo y $0$ en la otra mitad del intervalo satisface las condiciones de contorno y hace $I$ cero, que es ciertamente lo más pequeño que puede ser. Tal función no es $C^1$ el objetivo del ejercicio es aproximar dicha función mediante $C^1$ funciones.

Answer 2

He aquí una respuesta de tipo "hack":

Definir $u_n(x) = \begin{cases} 0, & x < -{ 1\over n} \\ p_n(x), & x \in [-{1 \over n} , {1 \over n}] \\ x , & x > { 1\over n} \end{cases} $ , donde $p_n(x) = (x+{1 \over n})^2 (x-{1 \over n})(x-{ n^3-4\over 4 n})$ .

Tenemos $p_n(-{1 \over n} ) = p_n'(-{1 \over n} ) = p_n({1 \over n} ) = 0$ y $p_n'({1 \over n} ) = 1$ Por lo tanto $u_n$ es $C^1$ . (Además, tenga en cuenta que $\lim_n u_n(x) = \max(0,x)$ ).

Entonces $I(u) = \int_{-{1 \over n}}^{1 \over n} p_n'(x)^2 (1 - p_n'(x)^2 )^2 dx = {16 -5 n^3 \over 15 n^5}$ .