Estoy resolviendo algunas preguntas de Introducción a los Modelos de Probabilidad de Sheldon Ross como parte de mi preparación para mis próximos exámenes. Estoy atascado en este problema número 27 del capítulo 4 de la tercera edición del libro.
Cada individuo de una población de tamaño $N$ es, en cada periodo, activo o inactivo. Si un individuo es activo en un periodo, entonces, independientemente de todo lo demás, ese individuo será activo en el siguiente periodo con probabilidad $\alpha$ . Del mismo modo, si un individuo está inactivo en un periodo, entonces, independientemente de todo lo demás, ese individuo estará inactivo en el siguiente periodo con probabilidad $\beta$ . Sea $X_n$ denotan el número de individuos que están activos en el periodo n.
(a) Argumentar que $X_n$ , $n\geq 0$ es una cadena de Markov. (b) Encuentre $E[X_n|X_0 = i]$ . (c) Deduzca una expresión para sus probabilidades de transición. (d) Encuentre la proporción de tiempo a largo plazo en que exactamente j personas están activas
Mi intento
Así que para (a) creo que mi argumento es suficientemente bueno. Puedo escribir probabilidades de transición que sólo dependen del estado actual de la cadena de markov. Así que no importa cuántos estaban activos en los últimos períodos. Si sabemos cuántos están activos en el período actual, entonces podemos escribir la probabilidad de cuántos estarán activos en el próximo período únicamente como una función de esas constantes alfa y beta. Se trata, pues, de una cadena de Markov.
Para la parte b, no soy capaz de pensar en cómo encontrar alguna relación de recurrencia. Las probabilidades en sí son complicadas y no puedo ir simplemente por definición. Sólo necesito ayuda con b)
c) Por favor, verifique si mis probabilidades de transición son correctas. Así que si $k$ de la actividad actual $i$ individuos permanezcan activos, necesitamos $j-k$ más individuos a volverse activos desde el $N-i$ de la multitud previamente inactiva. O si $j<i$ necesitamos un mínimo de $i-j$ de la $i$ que la gente activa se vuelva inactiva y si más se vuelve inactiva necesitamos la diferencia $(j-(i-k))$ para venir de los inactivos $N-i$ .
Así que si $j>i$ ,
$$P_{ij} = \sum_{k=0}^i {i\choose k} \alpha^k {N-i \choose j-k}(1-\beta)^{j-k}$$
o si $j<i$ ,
$$P_{ij} = \sum_{k=(i-j)}^i {i\choose k} (1-\alpha)^k {N-i \choose j-(i-k)}\beta^{(j-(i-k))}$$
Todavía no he tenido la oportunidad de probar realmente d). Cualquier sugerencia para eso también ayudará, no puedo imaginarme construyendo realmente el $P$ con las probabilidades anteriores y resolviendo la ecuación lineal $\pi P = \pi$ es lo que la pregunta espera de nosotros.
