Encuentra una ecuación para u y v

Question

Tenemos la función $x^3 + px + q = 0$ , donde $p$ y $q$ son números reales conocidos y $x$ es un número real desconocido.

Poner $x = u + v$ y escribirlo. Si $3uv+p=0$ ¿se puede encontrar otra ecuación para $u$ y $v$ ?

Así que, para el primer paso: $u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 + px + q$ . Pero no sé qué hacer para el segundo paso. Sinceramente, no entiendo muy bien lo que quiere decir Supongo que hay que simplificar la ecuación.

¿Cómo lo haría? Una división larga con $3uv+p$ ¿o algo así?

Answer 1

También se puede sustituir por $x = u+v$ en $px$ . También, $p = -3uv$ de la ecuación $3uv + p = 0$ : $$u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 + \underbrace{-3uv}_p\,(\underbrace{u + v}_x) + q = 0$$

Desde $q$ es conocido, lo anterior es una ecuación en $u$ y $v$ pero se puede simplificar a $$(u^3 + v^3) = -q$$