Exponenciación de la forma canónica de Jordan

Question

¿Cómo lo resuelvo? Soy consciente de que la solución pasa por utilizar JCF.

Answer 1

Inductivamente se puede demostrar $\bigg(\array{2 & 1\\ -1 & 0}\bigg)^n=\bigg(\array{n+1 & n\\ -n & -(n-1)}\bigg)$ por lo que el límite diverge.

Answer 2

Lo que se necesita es una descomposición de Dunford: $A=D+N$ , donde $D$ es una matriz diagonalizable y $N$ una matriz nilpotente y $D$ y $N$ de viaje. Si $D$ es efectivamente diagonal, esto significa que los coeficientes diagonales son iguales. Un bloque de Jordan tiene estas propiedades.

Set $A=\begin{bmatrix}2&1\\-1&0\end{bmatrix}$. It has only one eigenvalue, $1$, and the eigenspace has dimension $1$, generated by $e_1=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$ . Para completarlo en una base jordana, tenemos que resolver $(A-\lambda I)e_1=(A-I)e_2=e_1$ . En esta base, como $Ae_1=e_1$ , $Ae_2=e_1+e_2$ la forma canónica de Jordan será: $$J=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}=I+\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}=I+N$$ Now $N^2=0$, hence $(I+N)^n=\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}$ .

Dejemos que $P=[e_1 \ e_2]$ el cambio de matriz de base (de la base canónica a la base de Jordan). Entonces $A=P(I+N)P^{-1}$ Así que..: $$A^n=P(I+N)^nP^{-1}$$ Deberías encontrar, si no me equivoco: $$A^n=\begin{bmatrix}1+n&n\\-n&1-n\end{bmatrix}.$$