Estoy tratando de obtener las dos soluciones asintóticas de la ecuación $y''(x)=\sqrt{x} \cdot y(x)$ como $x\rightarrow 0$ . Pero cuando pongo $y(x)=\exp(S(x))$ desde $x=0$ es un punto singular irregular, no importa si descuido $S''$ o $S'^{2}$ La aproximación no parece ser válida después de evaluar las soluciones, a menos que ignore la constante de integración. ¿Cómo puedo proceder para obtener la expansión asintótica de ambas soluciones? Por favor, dame una pista.
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Matthew Scouten
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La solución general, según Maple, es
$$ y(x) = c_1 \sqrt{x}\; I_{2/5}\left(\dfrac{4}{5} x^{5/4}\right) + c_2 \sqrt{x} \;K_{2/5}\left(\dfrac{4}{5} x^{5/4}\right)$$ donde $I_{2/5}$ y $K_{2/5}$ son funciones de Bessel modificadas de primer y segundo tipo.
Las expansiones de la serie en $x=0$ (para $x > 0$ ), también según Maple, son
$$ \eqalign{ \sqrt{x}\; I_{2/5}\left(\dfrac{4}{5} x^{5/4}\right) &= {\frac {{2}^{{ {9}/{10}}}{5}^{3/5}\Gamma \left( 3/5 \right) \sqrt {5+\sqrt {5}}}{8 \pi }} x+{\frac {{2}^{{ {9}/{10}}}{5}^{3/5} \Gamma \left( 3/5 \right) \sqrt {5+\sqrt {5}}}{70\,\pi }} x^{7/2}\cr &+{ \frac {{2}^{{ {9}/{10}}}{5}^{3/5}\Gamma \left( 3/5 \right) \sqrt {5+\sqrt {5}}}{2100\,\pi }} x^6+O \left( {x}^{17/2} \right) \cr \sqrt{x} \;K_{2/5}\left(\dfrac{4}{5} x^{5/4}\right) &= -{\frac {\pi \,{2}^{1/10}{5}^{2/5}\sqrt {5+\sqrt {5}} \left( -5+ \sqrt {5} \right) }{20 \;\Gamma \left( 3/5 \right) }}-\dfrac{{2}^{2/5}{5}^{3 /5}\Gamma \left( 3/5 \right)}{4} x\cr &-{\frac {\pi \,{2}^{1/10}{5}^{2/5}\sqrt {5+\sqrt {5}} \left( -5+\sqrt {5} \right) }{75\,\Gamma \left( 3/5 \right) }} x^{5/2}-\dfrac{{2}^{2/5}{5}^{3/5}\Gamma \left( 3/5 \right)}{35} {x}^{7/2}\cr &-{\frac {\pi \,{2}^{1/10}{5}^{2/5}\sqrt {5+ \sqrt {5}} \left( -5+\sqrt {5} \right) }{1500\,\Gamma \left( 3/5 \right) }} x^5-{\frac {{2}^{2/5}{5}^{3/5}\Gamma \left( 3/5 \right) }{1050}} x^6\cr &-{\frac {\pi \,{2}^{1/10}{5}^{2/5}\sqrt {5+\sqrt { 5}} \left( -5+\sqrt {5} \right) }{73125\,\Gamma \left( 3/5 \right) }} x^{15/2} +O \left( {x}^{17/2} \right) }$$
Así que las series de Antonio son correctas. Por cierto, hay que tener en cuenta que el cambio de la variable dependiente $ x = t^2$ le da una ecuación diferencial $$ t y'' - y' - 4 t^4 y $$ que tiene un punto singular regular en $t=0$ con la ecuación indicial $r^2 - 2 r = 0$ y la recursión para los coeficientes $$ a_{i+5} = \dfrac{4}{(i+5)(i+3)} a_i$$ donde $$ y = a_0 + a_5 t^5 + a_{10} t^{10} + \ldots = a_0 + a_5 x^{5/2} + a_{10} x^5 + \ldots$$ o $$ y = a_2 t^2 + a_7 t^7 + a_{12} t^{12} + \ldots = a_2 x + a_7 x^{7/2} + a_{12} x^6 + \ldots$$
