Trabajo con formas de intersección en homología. Cálculo.

Question

Hola a todos:

Estoy tratando de trabajar con la forma de intersección en los 4 manifolds. Específicamente,

Estoy trabajando con $CP^2$ (espacio proyectivo complejo 2.), cuya forma viene dada por $(1)$ .

Ahora, sé cómo calcular un valor numérico real cuando trabajamos con la forma en cohomología: producimos en taza dos cochains a,b , y luego evaluamos $a \cup b$ en la clase fundamental.

Pero cuando trabajamos en homología (utilizando la Dualidad de Poincare) , no tengo muy claro cómo obtenemos realmente un número partiendo de una matriz (siempre tenemos superficies representativas para la 2-homología en un 4-manifold.) ¿En qué evaluamos esta matriz?

Gracias.

Answer 1

Si tienes 2 superficies en un manificio de 4, representan dos elementos (digamos, $a$ y $b$ ) en la homología de grado 2. Si se tiene una representación matricial $M$ de la forma de intersección, esto significa que ya has elegido una base de homología de grado 2, y puedes expresar $a$ y $b$ como vectores columna con respecto a esta base. Se obtiene un número entero tomando $a^TMb$ , donde $a^T$ denota la transposición de $a$ .

Answer 2

Gracias , David, tanto por el formato como por la referencia. Por desgracia, creo que mi pregunta puede ser mucho más simple que su refs: Tengo una representación matricial de una forma en cohomología , que puede ser dualizada (y doy esta forma dualizada) a la homología. Se supone que esta forma/matriz da un valor entero; este valor es el número de puntos de intersección de dos submanifolds de un 4-manifold, con el signo tiene que ver con la orientación de los dos submanifolds.

No tengo claro cómo puedo obtener este valor entero de la matriz, es decir cómo puedo obtener el número de intersección utilizando esta forma; sé que necesito evaluar esta matriz en algún vector de 2x1, sólo que no tengo no tengo idea de lo que este vector sería.

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