Cómo evaluar la siguiente integral triple

Question

Tenemos la siguiente integral triple: $$\iiint z \mathrm dz \mathrm d y\mathrm d x$$ donde $\sqrt x+\sqrt y + \sqrt z \leq 1$
He intentado encontrar la intersección de la superficie definida por la ecuación anterior con los tres ejes: así será la región:

$0 \lt x \lt 1$ , $0 \lt y \lt 1-\sqrt x$ y $0 \lt z \lt 1-\sqrt(y)$

Así que obtenemos $$\int_0^{1}\int_0^{1-\sqrt x}\int_0^{1-\sqrt y}zdzdydx$$

¿Es esto correcto?

Answer 1

No es del todo correcto. Para $0 \le x \le 1$ , tienes la tajada $0 \le \sqrt{y}+\sqrt{z} \le 1-\sqrt{x}$ , que se puede describir como $0 \le y \le (1-\sqrt{x})^2$ y $0 \le z \le (1-\sqrt{x}-\sqrt{y})^2$ .

También puede probar el cambio de variables $u=\sqrt{x}$ , $v=\sqrt{y}$ , $w=\sqrt{z}$ para obtener un dominio de integración más sencillo.