¿Cuántas formas hay de ordenar los dígitos $1$ a través de $9$ a $3 \times 3$ ¿Red con restricciones?

Question

Probé cada posibilidad y las sumé, lo que me llevó mucho tiempo. ¿Cuál es la forma más fácil de resolver este problema? ¡Muchas gracias de antemano!

¿Cuántas formas hay de ordenar los dígitos $1$ a través de $9$ en este $3 \times 3$ de manera que los números aumenten de izquierda a derecha en cada fila y de arriba a abajo en cada columna?

Answer 1

Colocar números en una disposición de cajas de este tipo, de manera que sean crecientes a lo largo de las filas y crecientes en las columnas, es un problema clásico, y estos objetos se denominan cuadro estándar de Young .

Si hay $\lambda_i$ cajas en el $i$ fila, entonces la cantidad que se desea se suele denotar $f^\lambda$ con $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,...)$ . Resulta que $f^\lambda$ es la dimensión de la representación irreducible del grupo de permutación asociada a la partición entera $\lambda$ (está fuera del alcance definir todo esto aquí).

Existe una fórmula para $f^\lambda$ para todos $\lambda$ que puede encontrar aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Hook_length_formula

El caso particular de $n\times n$ rejillas tiene la solución $ (n^2)! \prod_{k=0}^{n-1}\frac{k!}{(n+k)!}$ y para $n=3$ esto es $42$ .

Answer 2

Algunas cosas que sabemos: - El primer elemento de la primera fila debe ser $1$ y el último elemento de la tercera fila debe ser $9$ . - Cualquier cosa que funcione horizontalmente funcionará verticalmente.

Empecemos con $1 ,2 ,.$ para la primera fila.
$1 2 3$ $1 2 3$ $1 2 3$ $1 2 3$ $ 1 2 3$
$4 5 6$ $4 5 7$ $4 5 8$ $4 6 7$ $ 4 6 8$
$7 8 9$ $6 8 9$ $6 7 9$ $5 8 9$ $ 5 7 9$
Eso es $5$ .

$1 2 4$ $1 2 4$ $1 2 4$ $1 2 4$ $ 1 2 4$
$3 5 6$ $3 5 7$ $3 5 8$ $3 6 7$ $ 3 6 8$
$7 8 9$ $6 8 9$ $6 7 9$ $5 8 9$ $ 5 7 9$
Eso es $5$ .

$1 2 5$ $1 2 5$ $1 2 5$ $1 2 5$ $ 1 2 5$
$3 4 6$ $3 4 7$ $3 4 8$ $3 6 7$ $ 3 6 8$
$7 8 9$ $6 8 9$ $6 7 9$ $4 8 9$ $ 4 7 9$
Eso es $5$ .

$1 2 6$ $1 2 6$ $1 2 6$ $1 2 6$
$3 4 7$ $3 4 8$ $3 5 7$ $3 5 8$
$5 8 9$ $5 7 9$ $4 8 9$ $4 7 9$
Eso es $4$ .

$1 2 7$ $ 1 2 7$
$3 4 8$ $ 3 5 8$
$5 6 9$ $ 4 6 9$
Eso es $2$ . Eso es un total de $21$ .

$21 × 2 = 42$ es la respuesta

Answer 3

El $1$ tiene que estar arriba a la izquierda y el $9$ tiene que ser inferior a la derecha. El $2$ puede ser la parte superior central o el centro de la izquierda. Por simetría, también podríamos poner el $2$ en la parte superior del centro y el doble de la cuenta para el centro de la izquierda. El $8$ tiene dos opciones. Para cada una de ellas, habrá dos opciones para $3$ y dos para $7$ . Esto da lugar a ocho cuadrículas, cada una de las cuales tendrá restricciones en $4,5,6$ .