Ejemplo de índice de intersección de subgrupo en subgrupo que no divide el índice de subgrupo en grupo

Question

"Dejemos $G$ sea un grupo y que $H,K$ sean subgrupos de índice finito de $G$ . Dé un ejemplo de grupo y subgrupos tales que el índice de $H\cap K$ en $H$ , $[H\cap K:H]$ no divide el índice de $K$ en $G$ , $[K:G]$ ."

Llevo horas rompiéndome la cabeza con esto y sigo sin encontrar una respuesta a ello. He buscado en internet pero no he encontrado ningún ejemplo de ello, sólo teoremas que afirman que $[H\cap K:H]\leq [G:K]$ ( aquí si está interesado). ¿Se te ocurre algún ejemplo? Gracias.

Answer 1

Tomemos un grupo tal que para algún primo exista un sylow distinto $p$ -subgrupos y que uno sea $H$ y el otro $K$ . Tenga en cuenta que $[H\cap K : H] = p^{a}$ con $a>0$ y $[K:G]$ no es un múltiplo de $p$ .

Parece que el ejemplo más pequeño es $G= S_3$ , $H = \{ e, (1,2) \}$ y $K = \{e, (2,3) \}$ y $H\cap K = \{e\}$ . Y así el primer índice es $2$ y el segundo índice es $3$ .