¿Cuál es el tamaño de la categoría de espacios vectoriales F_q de dimensión finita?

Question

El tamaño de una categoría esquelética finita C en el sentido de Leinster se define como sigue: Etiquetar los objetos de C con los números enteros 1,2,...,n y dejar que a _ij sea el número de morfismos de i a j (para i y j entre 1 y n). La página web tamaño (o característica de Euler) de C se define como la suma de las entradas de la inversa de la matriz nxn A=(a _ij ), si la inversa existe.

Sea F _q sea un campo finito con q elementos. Para cada número natural i, existe hasta el isomorfismo exactamente un F _q -espacio vectorial V _i de dimensión i. El número de mapas lineales de V _i a V _j es igual a q ij . Ignoramos el espacio vectorial de dimensión cero V ₀ . Consideremos la matriz infinita

Q=(q ij )

donde las filas y las columnas están indexadas por enteros positivos 1,2,3,... A partir de ahora tratemos q como un parámetro formal, no nos preocupemos por los problemas de convergencia, y fijemos v=q -1 .

¿Existe la noción de inverso de Q? (Las entradas serán probablemente series de potencias formales en v.) Si la respuesta es afirmativa, ¿cuál es una forma cerrada para la suma de las entradas de la inversa (como una serie de potencias formal en v), es decir, el tamaño de la categoría de F de dimensión finita _q -¿espacios vectoriales?

Al menos cada truncamiento Q _n de Q a una esquina superior izquierda nxn tiene una inversa para cada entero positivo n, ya que Q _n es una matriz de Vandermonde. Cuál es el límite de la suma de las entradas de Q _n -1 a medida que n llega al infinito? Creo que la respuesta es una serie de potencias en v. ¿Existe una forma explícita?

¿Cómo puede interpretar la respuesta? ¿Es la característica de Euler de algún espacio de módulos? ¿Es igual o está relacionada con una suma de 1/Gl(V _i )? ¿Sucede algo interesante en q=1?

Answer 1

(Edición: lo siguiente debería ser un comentario a continuación de "Reid, ¿qué significa eso?" de Philipp, no una respuesta. Sin embargo, no veo cómo cambiarlo ahora. Otra edición: he adjuntado una suposición de respuesta).

Báez y Dolan tienen una noción de la cardinalidad de un grupito. Eligen un objeto a _i de cada clase de isomorfismo, y definir la cardinalidad como

\sum _i 1/orden(Aut(a _i )).

Por ejemplo, si E es el grupoide de conjuntos finitos y biyecciones entonces hay que elegir un conjunto de elementos i a _i para cada número natural i; entonces Aut(a _i ) = S _n y la cardinalidad es e. Véase su artículo "From finite sets to Feynman diagrams".

La cardinalidad de un groupoide finito es la misma que su tamaño/característica de Euler en mi sentido. (Y puedes probar suerte extendiendo al caso infinito.) Supongo que Reid estaba señalando que dada una categoría arbitraria C, no necesariamente un groupoide, hay dos números asociados a ella: (i) la característica de Euler de la propia C, (ii) la cardinalidad del grupoide subyacente de C. Estos son en general diferentes (por ejemplo, considere la categoría de dos objetos que consiste en una sola flecha). Supongo que la razón por la que Reid hizo su comentario fue tu penúltima pregunta: "¿Es igual o está relacionado con una suma de 1/Gl(V _i )?"

En cuanto a tu pregunta principal, hay pocas pruebas de que la respuesta sea 1. Este es el argumento.

Es un teorema (en el artículo que citas) que siempre que tengas una adjunción entre un par de categorías finitas, y sus dos características de Euler estén definidas, entonces sus características de Euler son iguales. También es un teorema que siempre que dos categorías sean equivalentes, la CE de una está definida si la CE de la otra lo está, y entonces son iguales. Por último, es un teorema que si una categoría tiene un objeto terminal, su CE, si está definida, es 1.

Ahora, su categoría es equivalente a la categoría C de espacios vectoriales no triviales de dimensión finita sobre F _q . La unión habitual entre espacios vectoriales y conjuntos se restringe a una unión entre C y la categoría S de conjuntos finitos no vacíos. Además, S tiene un objeto terminal. Por tanto, si los tres teoremas descritos se extienden (en algún sentido) a categorías infinitas, entonces la CE de su categoría es 1.

No estoy en absoluto seguro de que esta sea la respuesta correcta, y contradice la sugerencia de Qiaochu Yuan. Si la CE (o más exactamente el límite que menciona) es no 1, entonces es interesante, porque implicaría alguna diferencia de comportamiento entre las categorías finitas e infinitas.

Por último, usted pregunta: "¿Cómo se puede interpretar la respuesta? No creo que pueda decir mucho sobre la interpretación de este caso particular. Pero en general se puede pensar que la característica de Euler de una categoría C es lo mismo que la característica de Euler de su nervio NC (un conjunto simplicial), o de su espacio clasificatorio BC (la realización geométrica de NC). Por supuesto, no todo espacio topológico tiene una característica de Euler bien definida, por lo que los teoremas de este tipo están sujetos a algunas hipótesis. El resultado sobre las adjunciones mencionado anteriormente es del tipo "si los espacios son homotópicamente equivalentes, entonces sus características de Euler son iguales".

Answer 2

Siguiendo las observaciones hechas en los comentarios se puede calcular la suma de las entradas de Q _n -1 . Resulta que la fórmula de Kevin Costello es verdadera para cada n.

Sea (a ₁ , a ₂ , ..., a _n ) sea la transposición de la k th vector columna de Q _n -1 . (Por supuesto, este vector depende de k, pero omitimos el índice k.) Qiaochu Yuan sugirió considerar el polinomio

A(x) = a ₁ x + a ₂ x 2 + ... + a _n x n .

El grado de A es n, por lo tanto A está determinado por los valores en n+1 puntos. Pero sabemos que A(0)=0 y que

A(q i ) = delta _ik para i = 1, 2, ... , n.

Por interpolación de Lagrange, A(x) es igual a

x(x-q)(x-q 2 )...(x-q k-1 )(x-q k+1 )...(x-q n ) / q k (q k -q)(q k -q 2 )...(q k -q k-1 )(q k -q k+1 )...(q k -q n ).

La suma a ₁ +a ₂ +...+a _n es igual a A(1). Trabajemos con números enteros cuantificados. Utilizamos la notación [k] = (1-q k )/(1-q) = 1+q+...+q k-1 . (Nótese que la gente de los grupos cuánticos a veces utiliza una convención diferente.) Además, dejemos que [n elige k] sea el coeficiente binomial cuantificado. Entonces, A(1) es igual a

(-1) k-1 [n elegir k] q k(k-1)/2-kn .

Sumamos A(1) sobre todo k. Una variante de la teorema del binomio cuántico da que la suma de las entradas de Q _n -1 es igual a 1 - (1-1/q)(1-1/q 2 )...(1-1/q n ).