Diferencia entre $X(\omega)$ y $X(j\omega)$ notación de la transformada de Fourier

Question

En muchos materiales de referencia he encontrado la transformada de Fourier de una función $x(t)$ referido como $X(\omega)$ y $X(j\omega)$ . Pero ¿cuál es la diferencia entre ambas representaciones? ¿Son ambas una misma cosa? Si no es así, ¿cuál es la relación entre ellas? Las siguientes son definiciones para $X(\omega)$

$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t}dt$

Gracias por adelantado

Answer 1

Ambas anotaciones se refieren a la misma cosa. Uno usaría $X(j\omega)$ cuando los transitorios también se tratan en el texto (por ejemplo, la conmutación en los circuitos eléctricos, los sistemas LTI en la teoría de control) donde también se consideraría la transformada de Laplace $X(s)$ . Entonces $s = j\omega$ es el estado estacionario / estable, en el que todos los exponenciales han decaído lo suficiente y el sistema puede describirse sólo con armónicos. Además, el $X(j\omega)$ se utiliza a menudo en los textos de ingeniería eléctrica sólo porque la $j\omega$ es un término tan común cuando se trata de circuitos eléctricos con componentes capacitivos o inductivos (véase la impedancia de un circuito RLC $Z = R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C}$ ). Si escribiera un texto en el que los transitorios no son de interés, el texto no está relacionado con los otros conceptos mencionados anteriormente y/o está dirigido a un público no especializado, definitivamente preferiría $X(\omega)$ .