Demostración de una equivalencia en los Criterios de Suavidad para Campos Tensoriales en el libro de Lee

Question

Estoy tratando de demostrar una equivalencia en el teorema de los criterios de suavidad para los campos tensoriales que se encuentra en el libro Introduction to Smooth Manifolds de John M. Lee, segunda edición, p. 317. Se enuncia de la siguiente manera (sólo tomando las partes esenciales):

Dejemos que $M$ sea una variedad lisa y que $A : M \to T^kT^*M$ ser una sección áspera. Entonces las dos condiciones siguientes son equivalentes:

(a) Si $X_1,\dots,X_k \in \mathfrak{X}(M)$ entonces la función $A(X_1,\dots,X_k): M \to \mathbb{R}$ definido por $$A(X_1,\dots,X_k)(p) := A_p(X_1\vert_p,\dots,X_k\vert_p)$$ es suave.

(b) Siempre que $X_1,\dots,X_k$ son campos vectoriales suaves definidos en algún subconjunto abierto $U \subseteq M$ la función $A(X_1,\dots,X_k)$ es suave en $U$ .

Trato de demostrar (a) $\Rightarrow$ (b). Creo que una prueba directa sería la mejor idea. Así que dejemos que $U \subseteq M$ ser abierto y $X_1,\dots,X_k \in \mathfrak{X}(U)$ . Desde $T_pU \cong T_pM$ $$A_p(X_1\vert_p,\dots,X_k\vert_p)$$ tiene sentido. Ahora está claro que tengo que invocar que la suavidad es una propiedad local y (a), pero de alguna manera no veo muy bien cómo se debe hacer. También estoy ligeramente confundido, si lo que hice hasta ahora es correcto, es decir, si entendí la formulación de (b) correctamente.

Answer 1

Supongamos que (b) no se cumple. Sea $U$ sea un conjunto abierto, y sea $X_1,\ldots,X_k$ sean campos vectoriales suaves en $U$ tal que $p\mapsto A(X_1(p),\ldots,X_k(p))$ no es suave en $U$ . Entonces hay un punto específico $q\in U$ , tal que la función anterior no es suave en $q$ . Ahora bien, una de las formas de proceder es la siguiente

Lema: Existe un conjunto abierto $V\subset U$ que contiene $q$ y campos vectoriales suaves globales $Y_1,\ldots Y_k$ , tal que para cada $1\leq i\leq k$ tenemos $$Y_i|_V=X_i|_V.$$ La prueba de este lema la dejamos para ti.

Desde el $Y_i$ 's están de acuerdo con el $X_i$ en un barrio abierto de $q$ la función global $p\mapsto A(Y_1(p),\ldots,Y_k(p))$ no es suave en $q$ y (a) no se cumple.