Una función continua no necesita ser integrable por Riemann-Stieltjes si $\alpha$ no es monótona.

Question

Para una función determinada $\alpha: [0, 1]\to \mathbb{R}$ , denotemos $\mathcal{R}(\alpha)$ para ser el conjunto de todas las funciones integrales de Riemann-Stieltjes con respecto a $\alpha$ . Es un hecho bien conocido que (por ejemplo, véase el teorema 6.8 en la obra de Rudin Principios del análisis matemático ) si $f: [0,1]\to\mathbb{R}$ es una función continua, y $\alpha: [0,1]\to\mathbb{R}$ es un que aumenta monótonamente entonces $f\in\mathcal{R}(\alpha)$ .

Estoy interesado en lo siguiente:

Pregunta 1: ¿Cuál es un ejemplo de función $\alpha:[0,1]\to\mathbb{R}$ y una función continua $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ tal que $f\not\in\mathcal{R}(\alpha)$ ?

Pregunta 2: ¿Existe un ejemplo de continuo función $\alpha:[0,1]\to\mathbb{R}$ y una función continua $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ tal que $f\not\in\mathcal{R}(\alpha)$ ?

Gracias.

Answer 1

La integral de Riemann-Stieltjes funciona bien siempre que $\alpha$ tiene una variación acotada (equivalentemente, puede escribirse como la diferencia de dos funciones crecientes acotadas). La función continua $$\alpha(x)=\begin{cases} \sqrt{x}\cos(\pi/x),\quad &x\in (0,1] \\ 0 & x=0\end{cases} \tag1$$ tiene una variación infinita en $[0,1]$ . De hecho, $\alpha(1/n)=(-1)^n/\sqrt{n}$ , lo que implica $\sum_{n=1}^\infty |\alpha(1/n)-\alpha(1/(n+1))|=\infty$ . (Nota: todos los libros de análisis reales que conozco utilizan $\sin$ en lugar de $\cos$ en este ejemplo, y se lía con el extra $\pi/2$ en los cálculos).

Afirmo que $\int_0^1 \alpha(x)\,d\alpha(x)$ no existe. En primer lugar, la definición que se basa en la descomposición $\alpha$ como la diferencia de dos funciones crecientes acotadas se rompe. En el nivel más básico, cada intervalo $[1/(n+1),1/n]$ contribuye $$\approx\frac{1}{\sqrt{n}} \frac{2}{\sqrt{n}}$$ a la suma superior, y $$\approx -\frac{1}{\sqrt{n}} \frac{2}{\sqrt{n}}$$ a la suma inferior.