Resolver $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\cot{\frac{2}{n}}+n\csc{\frac{3}{n^3}}}{\csc{\frac{3}{n}} + n\cot{\frac{2}{n^2}}}$

Question

Cómo llegar desde

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\cot{\frac{2}{n}}+n\csc{\frac{3}{n^3}}}{\csc{\frac{3}{n}} + n\cot{\frac{2}{n^2}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{\frac{2}{n}}{\tan{\frac{2}{n}}}\cdot\frac{1}{2n^2}+\frac{\frac{3}{n^2}}{\sin{\frac{3}{n^2}}}\cdot\frac{1}{3}}{\frac{\frac{3}{n}}{\sin{\frac{3}{n}}}\cdot \frac{1}{3n^2}+\frac{\frac{2}{n^2}}{\tan{\frac{2}{n^2}}}\cdot\frac{1}{2}}=...=\frac{2}{3}$$

? ¿No parece que se haya aplicado aquí la regla de l'Hôpital?

Answer 1

Esto es lo que yo haría con un enfoque quizás más intuitivo (todo esto se puede hacer más riguroso usando la expansión de taylor por ejemplo)

$\sin(x)$ va como $x$ en la vecindad del origen,

utilizando lo que tienes (por ejemplo):

$\csc(3/n^3)$ se comporta como $n^3/3$ para los grandes $n$

De la misma manera, $\cos(x)$ puede aproximarse mediante $1$ alrededor del origen así $\cot(1/x)$ va como $1/(1/x)$ con muy grandes $x$ (es decir, va como $x$ ).

Con este tipo de enfoque, es bastante sencillo obtener la solución. Espero que esto ayude.

EDIT: hm, lo hice por diversión en el lado y puede haber olvidado algo como, si no me equivoco, el límite no converge. (El término principal en el numerador va como $n^4$ y el término principal en el denominador va como $n^3$ Para ser más precisos, el término principal de la expansión en el infinito es $\frac23 n$ ). es posible que quieras comprobar tu ecuación, pero eso no cambia que puedas seguir utilizando ese tipo de enfoque para las funciones trigonométricas.

Answer 2

Creo que tienes que revisar tu pregunta porque no creo que la respuesta sea $\frac{2}{3}$ . Pero me han dado una solución de esa pregunta que usted está escribiendo aquí.

Sabemos que $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}=1$ y $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x}{\tan x}=1$ .

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\cot \frac{2}{n}+n\csc \frac{3}{n^{3}}}{\csc \frac{3}{n}+n\cot \frac{2}{n^{2}}}$ $=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\tan \frac{2}{n}}+n\frac{1}{\sin \frac{3}{n^3}}}{\frac{1}{\sin \frac{3}{n}}+n\frac{1}{\tan\frac{2}{n^2}}}$ $=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\frac{2}{n}}{\tan \frac{2}{n}}.\frac{n}{2}+n\frac{\frac{3}{n^3}}{\sin \frac{3}{n^3}}.\frac{n^3}{3}}{\frac{\frac{3}{n}}{\sin \frac{3}{n}}.\frac{n}{3}+n\frac{\frac{2}{n^2}}{\tan\frac{2}{n^2}}.\frac{n^2}{2}}$ $=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n}{2}+n.\frac{n^3}{3}}{\frac{n}{3}+n.\frac{n^2}{2}}$ $=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{3n+2n^{4}}{2n+3n^3}$ $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3}{n^3}+2}{\frac{2}{n^3}+\frac{3}{n}}$ $=2.$

Answer 3

$$\Large{\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\cot{\frac{2}{n}}+n\csc{\frac{3}{n^3}}}{\csc{\frac{3}{n}} + n\cot{\frac{2}{n^2}}} = 2}$$

Debería haber una errata en el libro. ( el segundo término en la parte inferior debería tener $n^3$ )

$$\Large{\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\cot{\frac{2}{n}}+n\csc{\frac{3}{n^3}}}{\csc{\frac{3}{n}} + n\cot{\frac{2}{n^3}}} = \frac{2}{3}}$$