Dejemos que $p$ sea un número primo fijo.
Pregunta 1: Dada una extensión finita $K$ de $\mathbb{Q}_p$ ¿existe una extensión totalmente real $F$ de $\mathbb{Q}$ y un lugar $v$ de $F$ en $p$ tal que $F_v = K$ ?
Esto se utiliza en la prueba de la conjetura local de Langlands (por lo que estoy bastante seguro de que la respuesta es Sí) pero nunca he visto una referencia. Mi estado de conocimiento es similar para la siguiente pregunta (y de nuevo estaría muy agradecido por una referencia):
Pregunta 2: Dado un número entero $g \geq 1$ ¿existe una extensión totalmente real $F$ de $\mathbb{Q}$ tal que $F \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_p = \mathbb{Q}_p \times \dots \times \mathbb{Q}_p$ ( $g$ copias).
Una generalización ingenua común de ambas preguntas es la siguiente (que ahora es una pregunta real):
Pregunta 3: Que $K_1, \dots, K_g$ sean extensiones finitas de $\mathbb{Q}_p$ . ¿Existe una extensión totalmente real $F$ de $\mathbb{Q}$ tal que $F \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_p = K_1 \times \dots \times K_g$ ?
No me extrañaría que la respuesta fuera negativa por razones triviales que no estoy viendo.
