Si la integral de una función no se puede escribir, entonces ¿cómo podemos encontrar valores exactos para él sobre áreas? ¿Podemos nosotros sólo estiman? ¿Por qué no podemos hacer nuevas funciones para definir estos extraños derivados de la?
Respuestas
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Podemos, y hago todo el tiempo! Por ejemplo,
La función Gamma $$ \Gamma (z) = \int_0^{\infty} t^{z-1}\mathrm{e}^{-t} \ \mathrm{d}t. $$
La función Beta $$ \mathrm{B}(z,y) = \int_0^1 t^{z-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm{d}t. $$
La integral Exponencial de la función $$ \mathrm{E}_1(z) = \int_z^\infty \frac{e^{-t}}{t}\, \mathrm{d}t. $$
La función de Error $$ \operatorname{fer}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^x e^{-t^2}\,\mathrm dt.$$
La integral Elíptica de segunda especie $$ E(\phi,k)=\int_0^{\phi} \sqrt{1-k^2\sin^2\theta} \ \mathrm{d}\theta. $$
El Logarítmica de la función integral $$ {\rm Li} (x) = \int_2^x \frac{\mathrm{d}t}{\ln t}, $$
y muchos, muchos más muy importante "funciones especiales" son definidos por las integrales definidas. Si usted se remontan incluso a funciones elementales, se puede definir el logaritmo a través de la siguiente integral
El Logaritmo $$ \ln (t) = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx. $$
En cuanto a tu primera pregunta, ¿cómo podemos encontrar áreas bajo las curvas si no tenemos una primaria antiderivada? Bien, ¿cómo encontrar el área bajo la curva de $1/t$$1$$5$? La integral anterior indica que el valor es $\ln 5$, pero ¿cuál es ese valor, exactamente? Sólo podemos aproximado, dado los mejores métodos que tenemos!
Lo mismo es cierto de todas las funciones anteriores. En algunos valores especiales que tienen valores exactos, dado quizás por números enteros, racionales o irracionales números o una combinación de común constantes matemáticas como $\pi,\mathrm{e},\gamma,$ catalán constante, etc. (otra pregunta interesante es: ¿por qué son estas constantes lo suficientemente especial como para tener nombres? Porque vienen todo el tiempo! Lo mismo es cierto para las funciones anteriores) .
Pero para casi todos los valores que debe aproximar el valor de la función mediante el cálculo de la integral definida numéricamente (Trapecio regla, la regla de Simpson, las técnicas más avanzadas), o usando alguna otra representación de la integral como una suma infinita etc.
JohnD
Puntos
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Simplemente porque no se puede escribir en una forma cerrada para una antiderivada (que sabemos que existe), que no significa que estemos obligados a sólo calcular la integral definida.
Por ejemplo, no existe una forma cerrada para la antiderivada $\int e^{-x^2}\,dx$, pero eso no quiere decir que se limita a la estimación de $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$. De hecho, esta es una idea central de la teoría de series de Taylor!
El uso de $\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^\infty {x^n\over n!}$, vemos $$ e^{-x^2}=\sum_{n=0}^\infty {(-x^2)^n\sobre n!}=\sum_{n=0}^\infty {(-1)^n x^{2n}\over n!}=1-x^2+{x^4\over 2!}-{x^6\más de 3!}+\cdots $$ Entonces, por el término-por el plazo de integración de la serie de Taylor, \begin{align*} \int_0^1 e^{-x^2}\,dx&=\int_0^1 \left(1-x^2+{x^4\over 2!}-{x^6\over 3!}+\cdots\right)\,dx\\ &=\left[x-{x^3\over 3}+{x^5\over 5\cdot2!}-{x^7\over 7\cdot3!}+\cdots\right]_0^1\\ &=1-{1\over 3}+{1\over 5\cdot2!}-{1\over 7\cdot3!}+\cdots \end{align*} Por lo tanto, hemos encontrado que el valor exacto---no una estimación---para el área bajo la curva, a pesar de que no forma cerrada antiderivada está disponible. Es exacto en el sentido de que podemos encontrar el área deseada para cualquier prescrito exactitud se especifica sumando suficientemente muchos términos en la serie.
La objeción de que tal situación es similar, la OMI, para objetar el hecho de que $\sqrt 2$ no es racional. Ok, no es racional, pero todavía podemos calcular $\sqrt 2$ exactamente en el mismo sentido que calculamos el área por encima de la letra. El punto es que para ser capaz de calcular la cantidad de interés para un determinado nivel de precisión; soy indiferente en cuanto a la forma el particular, el cálculo se toma (aparte de la mera subjetiva de preferencia personal).
